[論文レビュー] Projective completions of graded unipotent quotients

Gergely Bérczi, Brent Doran+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非再帰的代数群で、その可解部分が順序付きの非可解部分を持つ場合の幾何的不変理論（GIT）の有効な類似を構築する。正の順序付け条件の下で、射影的スキームのハット安定集合は、$X \times \mathbb{A}^1$ の blow-up を用いた射影的完成をもつ幾何的商を許容する。主な貢献は、ヒルベルト＝ムーディー風の基準と明示的な blow-up 手続きを用いて、このような作用に対する良い商および幾何的商を体系的に構成することにある。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show that classical geometric invariant theory (GIT) has an effective analogue for linear actions of a non-reductive algebraic group $H$ with graded unipotent radical on a projective scheme $X$. Here the linear action of $H$ is required to extend to a semi-direct product $\hat{H} = H times \mathbb{G}_m$ with a multiplicative one-parameter group which acts on the Lie algebra of the unipotent radical $U$ of $H$ with all weights strictly positive, and which centralises a Levi subgroup $R \cong H/U$ of $H$. We show that $X$ has an $H$-invariant open subscheme (the 'hat-stable locus') which has a geometric quotient by the $H$-action. This geometric quotient has a projective completion which is a categorical quotient (indeed, a good quotient) by $\hat{H}$ of an open subscheme of a blow-up of the product of $X$ with the affine line; with additional blow-ups a projective completion which is itself a geometric quotient can be obtained. Furthermore the hat-stable locus of $X$ and the corresponding open subsets of the blow-ups of the product of $X$ with the affine line can be described effectively using Hilbert-Mumford-like criteria combined with the explicit blow-up constructions. Applications include the construction of moduli spaces of sheaves and Higgs bundles of fixed Harder--Narasimhan type over a fixed nonsingular projective scheme, and of moduli spaces of unstable projective curves of fixed singularity. More recently, cohomology theory for reductive GIT quotients were extended by the first and fourth author to the non-reductive situation studied in this paper, and this was used to prove the Green--Griffiths--Lang and Kobayashi hyperbolicity conjectures for generic projective hypersurfaces with polynomial bounds on their degree.

研究の動機と目的

• 古典的幾何的不変理論（GIT）を、順序付き非可解部分を持つ非再帰的代数群の線形作用へ拡張すること。
• ハット安定集合 $X^{\hat{s},H}$ における $H$ の作用に対する幾何的商を構成すること。これはモジュライ構成への重要な一歩である。
• $X \times \mathbb{A}^1$ の blow-up と $\hat{H}$-商を用いて、商 $X^{\hat{s},H}/H$ の射影的完成を提供すること。
• ヒルベルト＝ムーディー基準と明示的な blow-up 構成を用いて、ハット安定集合および関連する開部分集合の有効な記述を与えること。

提案手法

• 非可解部分 $U$ が正の重みで $\mathbb{G}_m$ によって順序付けられる半直積 $\hat{H} = H \rtimes \mathbb{G}_m$ を導入する。
• ハット安定集合 $X^{\hat{s},H}$ を、$R \cong H/U$ が射影的完成 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$ に誘導する作用の安定集合の逆像として定義する。
• 射影的完成 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ を、$X \times \mathbb{A}^1$ の blow-up の開部分スキームにおける $\hat{H}$ によるカテゴリー的商として構成する。
• 追加の blow-up を用いて、$\widetilde{X \times \mathbb{P}^1} \mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}} \hat{U} / \!/ R$ を介して、幾何的商 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ を得る。
• ヒルベルト＝ムーディー風の基準を用いて、ハット安定集合および blow-up 構成における対応する開部分集合を有効に記述する。
• 反復的 blow-up と次元削減を含むアルゴリズム的枠組みを用いて、終了性を保証し、所望の商を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 GIT は、非再帰的群で非可解部分が順序付けられている場合に拡張可能か。特に非可解部分が再帰的でない場合に。
• RQ2 このような非再帰的作用に対して、幾何的商 $X^{\hat{s},H}/H$ の射影的完成をどのように構成できるか。
• RQ3 $\mathbb{G}_m$-作用が非可解部分を順序付ける役割を果たし、有効な商構成を可能にする仕組みは何か。
• RQ4 非再帰的設定において、ヒルベルト＝ムーディー基準を用いてハット安定集合 $X^{\hat{s},H}$ を有効に記述できるか。
• RQ5 射影的完成 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ が幾何的商となる条件は何か。

主な発見

• レヴィ部分群 $R$ が自明であるとき、ハット安定集合 $X^{\hat{s},H}$ は空でない。一般には、$R$ が射影的完成 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$ に作用する安定集合の逆像である。
• 幾何的商 $X^{\hat{s},H}/H$ は、$X \times \mathbb{A}^1$ の blow-up の開部分スキームにおける $\hat{H}$ による良い商である射影的完成 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ を許容する。
• 追加の blow-up を施すことで、さらに射影的完成 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ が構成され、これは自身が幾何的商である。
• ハット安定集合および blow-up における開部分集合の構成は、ヒルベルト＝ムーディー基準と明示的な blow-up 列を組み合わせることで有効に記述可能である。
• 商の構成における各ループは群の次元を減少させるため、有限次元の下降が保証され、アルゴリズムの終了性が保証される。
• 本手法は、固定されたハーラー＝ナラシマン型を持つ層やヒッグスバンドルのモジュライ問題、および固定された特異点型を持つ不安定曲線のモジュライ問題に適用可能である。