[論文レビュー] Further $q$-series identities and conjectures relating false theta functions and characters

Chris Jennings-Shaffer, Antun Milas|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$q$-級数の恒等式に関する先行研究を拡張し、偽のtheta関数、モックモジュラー形式、および頂点代数のモジュールの特徴と関係を新たに導出する。半整数の特徴を持つ恒等式を導入し、$q \mapsto q^{-1}$ における逆 $q$-級数の性質を検討し、主部分空間および無限次元ジェット系列と関連づける。特定のケースではモジュラー性を証明し、他のケースでは特にテイルの和や$k$重超幾何級数の文脈において量子モジュラー性を仮定する。

ABSTRACT

In this short note, a companion of [20], we discuss several families of $q$-series identities in connection to false and mock theta functions, characters of modules of vertex algebras, and "sum of tails".

研究の動機と目的

• 偽のtheta関数と頂点代数のモジュールの特徴を含む、半整数の特徴を持つ以前の$q$-級数の恒等式を拡張すること。
• $k$ 個の和分変数および$r_i \in \{1,2\}$ を持つ$q$-超幾何級数を調査し、特に$k \leq \sum r_i \leq 2k$ の場合に注目すること。
• 定理1.1および1.2から得られる恒等式の$q$-超幾何項の形式的逆変換$q \mapsto q^{-1}$ を分析し、そのモジュラー性または量子モジュラー性を評価すること。
• 得られた$q$-級数と、可換な頂点代数の主部分空間および無限次元ジェット系列とを関連づけること。
• 特に$r_i = 1$ の場合に、$k$重超幾何級数における組合せ論的およびモジュラー構造を調査し、級数がモジュラー、偽モジュラー、または量子モジュラー形式として振る舞う場合を同定すること。

提案手法

• 非可換代数的関係を用いて、量子ディログリズムおよびFaddeev-Kashaevの五角形関係から$q$-級数の恒等式を導出する。
• Baileyの補題および既知の$q$-級数の恒等式（Eulerの恒等式および$q$-二項定理を含む）を適用し、新しい超幾何級数の恒等式を生成する。
• $r_i \in \{1,2\}$ を持つ$q$-超幾何形式$\sum_{n_1,\dots,n_k \geq 0} \frac{q^{\sum n_i + \sum n_i n_{i+1}}}{(q)_{n_1}^{r_1} \cdots (q)_{n_k}^{r_k}}$ を用いて、モジュラーおよび非モジュラー性の挙動を調査する。
• 形式的逆変換$q \mapsto q^{-1}$ を分析し、量子モジュラー形式を研究する。定理1.2の逆級数に対しては、$A_{2k-1}^{(1)}$ の主部分空間の特徴式を用いてモジュラー性を証明する。
• $q$-級数と頂点代数の構造を結びつけるために、それらが$L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$の主部分空間$W_L$の特徴として同定され、アフィンスキームの無限次元ジェット系列と関連づけられる。
• $r_i = 1$ の$k$重級数に対して、単項式基底の構成と次数付き特徴の計算を用いて、$F(1,\dots,1) = \text{ch}[W_L](q)$ が成り立つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半整数の特徴を持つ偽のtheta関数を含む$q$-級数の恒等式は、体系的かつ分類可能か？
• RQ2 定理1.1および1.2から得られる恒等式の$q \mapsto q^{-1}$ による逆級数のモジュラー性または量子モジュラー性は何か？
• RQ3 $k$重$q$-超幾何級数で$r_i = 1$ の場合、生成関数が$k$に応じてモジュラー、偽モジュラー、または量子モジュラー形式として振る舞う理由は何か？
• RQ4 テイルの和型恒等式における$q$-級数は、主部分空間および無限次元ジェット系列の特徴とどのように関連するか？
• RQ5 $C_n^{(1)}$-加群における単項式基底の組合せ論は、$r_i = 1$ の$q$-級数の構造を説明するために拡張可能か？

主な発見

• 定理1.2の逆$q$-級数は、$A_{2k-1}^{(1)}$ の主部分空間の特徴と一致するため、モジュラーであることが証明された。
• 定理1.1の逆級数については、モジュラー性が仮定されている（予想5.2）が、立方項までで検証されており、$L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$ のレベル1特徴と関連づけられている。
• $k=3$ および $k=8$ の場合、$r_i = 1$ の$q$-級数は本質的にモジュラーであることが示されたが、$k=5$ および $k=7$ の場合、それらは量子モジュラー形式として振る舞う。
• $k$ 変数および$r_i = 1$ の$q$-級数$F(1,\dots,1)$ は、主部分空間$W_L$の特徴に等しく、頂点代数表現理論への直接的な関連を確立する。
• $X = \text{Spec}(\mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]/(x_1x_2,\dots,x_{k-1}x_k))$ の弧空間$J_\infty X$ のヒルベルト級数は$\text{ch}[W_L](q)$ に一致し、$W_L$ と $J_\infty R$ が次数付き可換頂点代数として同型であることを確認する。
• $k=3$ で循環的二次形式$n_1n_2 + n_2n_3 + n_3n_1$ を持つ場合、$q$-級数は$\frac{1}{(q)_\infty} \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q^{n+1})_{n+1}}$ に等しく、Ramanujanの第5順序モックtheta関数に関連する既知の恒等式である。