[論文レビュー] Some remarks on associated varieties of vertex operator superalgebras

Hao Li|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ジェット代数および関連する代数的多様体の理論を頂点超代数へと拡張し、いくつかの頂点超代数族—特にアフィン $C_\ell^{(1)}$-系列、$N=1$ スーパーリーマン代数、Feigin-Stoyanovsky の主部分空間、およびグラフ頂点代数—に対して、写像 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ が同型であることを示している。一方、中心電荷 1 における $N=2$ スーパーリーマン代数では、$\psi$ が同型でない反例を提供している。

ABSTRACT

We study several families of vertex operator superalgebras from a jet (super)scheme point of view. We provide new examples of vertex algebras which are "chiralizations" of their Zhu's Poisson algebras $R_V$. Our examples come from affine $C_\ell^{(1)}$-series vertex algebras ($\ell \geq 1$), certain $N=1$ superconformal vertex algebras, Feigin-Stoyanovsky principal subspaces, Feigin-Stoyanovsky type subspaces, graph vertex algebras $W_Γ$, and extended Virasoro vertex algebra. We also give a counterexample to the chiralization property for the $N=2$ superconformal vertex algebra of central charge $1$.

研究の動機と目的

• 頂点代数から頂点超代数へと、関連多様体およびジェット代数の概念を一般化すること。
• 超代数の文脈において、全射写像 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ を考察し、特にそれが同型であるかどうかを検討すること。
• $\psi$ が同型である新しい例を提示し、ジェットスキームを通じて特性式とヒルベルト級数を結びつけること。
• 中心電荷 1 における $N=2$ スーパーリーマン頂点代数において、チャーリゼーション性質（$\psi$ が同型であること）の反例を構成すること。
• $N=2$ の場合における $\psi$ の核の構造を予想し、$D_n$、$E_n$ ラテンスおよび主部分空間に関する未解決問題を提示する。

提案手法

• アラカワのフィルトレーション $\{F_p(V)\}$ を頂点超代数に適応し、関連する次数付き頂点ポincare超代数 $\operatorname{gr}^F(V)$ を定義する。
• Zhu の $C_2$-代数 $R_V = V/F_1(V)$ を定義し、そのスペクトル $X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$ を関連多様体とする。
• 無限次ジェット代数 $J_\infty(R_V)$ を構成し、自然な全射 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ を定義する。
• $q$-級数の恒等式と Gordon-Andrews の特性式公式を用いて、$J_\infty(R_V)$ と $\operatorname{gr}^F(V)$ のヒルベルト級数を比較する。
• 組合せ的基底とジェット代数の制約を用いて、アフィンおよび格子型頂点超代数の主部分空間を分析する。
• 多項式環に関係を課した場合（例：$\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2,y^2\rangle$）の既知の結果を応用し、$\psi$ の同型性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの頂点超代数族に対して、写像 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ が同型となるか？
• RQ2 中心電荷 1 における $N=2$ スーパーリーマン頂点代数に対して、チャーリゼーション性質（$\psi$ が同型であること）は成立するか？
• RQ3 グラフ頂点代数 $W_\Gamma$ に対して、$J_\infty(R_V)$ のヒルベルト級数を組合せ論的に計算できるか？
• RQ4 同型でない場合、特に $N=2$ の場合に $\psi$ の核の構造はいかなるものか？
• RQ5 Feigin-Stoyanovsky の主部分空間に関して、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型ラテンスに対して $\psi$ が同型であるか？

主な発見

• アフィン頂点超代数 $C_\ell^{(1)}$（$\ell \geq 1$）に対して、写像 $\psi$ は同型であり、これらの代数に対してチャーリゼーションが成立することを確認した。
• $N=1$ スーパーリーマン頂点代数（$(2,4k)$-最小模型に対応）において、$\psi$ は同型であり、$J_\infty(R_V)$ のヒルベルト級数は $V$ の特性式と一致する。
• ジェット代数 $J_\infty(\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2, y^2 \rangle)$ は、$V = L_{\text{Vir}}(c_{2,5},0) \otimes L_{\text{Vir}}(c_{2,5},0)$ に対して $\operatorname{gr}(V)$ と同型であり、ヒルベルト級数は $\sum_{n_1,n_2 \geq 0} \frac{q^{n_1^2 + n_2^2 + n_1 + n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_2}}$ に一致する。
• $V = L_{\text{Vir}}(c_{3,10},0) \oplus L_{\text{Vir}}(c_{3,10},2)$ の場合、$C_2$-代数は $\mathbb{C}[u,v]/\langle uv, u^2 + v^2, u^3, v^3 \rangle$ であり、$J_\infty(R_V)$ のヒルベルト級数は特性式 $\sum_{n_1,n_2,m_1 \geq 0} \frac{q^{(n_1+n_2+m_1)(n_1+n_2)+n_2(n_2+m_1)+m_1^2 + m_1 + n_1 + 2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_2}(q)_{m_1}}$ と一致する。
• 中心電荷 1 における単純な $N=2$ スーパーリーマン頂点代数に対して、写像 $\psi$ は同型でないため、チャーリゼーション性質の反例が得られた。
• 本論文では、$N=2$ の場合における $\psi$ の核が、$u^2$、$v^3$、$uv$ の関係に対応する要素によって生成されるものと予想し、$D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型主部分空間に対しても $\psi$ が同型である可能性を提起している。