[論文レビュー] G-Expectation Weighted Sobolev Spaces, Backward SDE and Path Dependent PDE

Shigē Péng, Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、G期待値で重み付けされたソボレフ空間（G-ソボレフ空間）を導入し、G・ブラウン運動に従う後向きSDEとこれらの空間における経路に依存するPDEとの間の一対一対応を確立する。主な貢献は、G-BSDEと完全非線形経路依存PDEとの間の厳密な関係を確立し、古典的BSDE-PDE双対性を非マルコフ的かつ非線形期待値の枠組みに拡張することにある。

ABSTRACT

We introduce a new notion of G-expectation-weighted Sobolev spaces, or in short, G-Sobolev spaces, and prove that a backward SDEs driven by G-Brownian motion are in fact path dependent PDEs in the corresponding Sobolev spaces under G-norms. For the linear case of G corresponding the classical Wiener probability space with Wiener measure P, we have established a 1-1 correspondence between BSDE and such new type of quasilinear PDE in the corresponding P-Sobolev space. When G is nonlinear, we also provide such 1-1 correspondence between a fully nonlinear PDE in the corresponding G-Sobolev space and BSDE driven by G-Brownian. Consequently, the existence and uniqueness of such type of fully nonlinear path-dependence PDE in G-Sobolev space have been obtained via a recent results of BSDE driven by G-Brownian motion.

研究の動機と目的

• G期待値で重み付けされたソボレフ型関数空間の新規クラス、すなわちG-ソボレフ空間を定義し、経路依存確率的ダイナミクスを扱うためのものである。
• G・ブラウン運動に従う後向きSDEと完全非線形経路依存PDEとの間の厳密な双対性を確立する。
• G・マルティンゲール理論を用いて、古典的BSDE-PDE対応を非マルコフ的かつ非線形期待値の枠組みに拡張する。
• 弱解を拡張されたG-ソボレフ空間 $ W_{\mathcal{A}_{G}}^{\frac{1}{2},1;p}(0,T) $ において定式化し、より弱い微分可能性と広範な適用可能性を可能にする。
• $ G(a) = \frac{a}{2} $ のとき、古典的線形ケースが特殊ケースとして回復され、ウィener測度および標準PDEと関連づけられる。

提案手法

• G期待値と経路依存関数の微分を含むノルムにおける滑らかなシリンダ関数の完備化として、G-ソボレフ空間 $ W_{G}^{1,2;p}(0,T) $ を定義する。
• モデル不確実性下での非マルコフ的ダイナミクスをモデル化する後向きSDE $ Y_t = \xi + \int_t^T f(s,Y_s,Z_s,\eta_s)ds - \int_t^T Z_s dB_s - (K_T - K_t) $ を導入する。ここで $ K_t = \frac{1}{2}\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \int_0^t G(\eta_s)ds $ である。
• このG-BSDEの解と、終値条件 $ u(T,\omega) = \xi(\omega) $ を満たす経路依存PDE $ D_t u + G(D_x^2 u) + f(t,u,D_x u,D_x^2 u) = 0 $ の粘性解との間の一対一対応を確立する。
• 微分可能性が弱い解を扱うために、$ W_{\mathcal{A}_{G}}^{\frac{1}{2},1;p}(0,T) $ という拡張された弱解空間を導入し、特に $ f $ が $ D_x^2 u $ に依存しない場合に適応可能である。
• G・マルティンゲール分解と近似技術（例：$ \eta_t^h $ を用いた時間平均化）を用いて、Gフレームワーク下での収束性と一意性を証明する。
• G・伊藤の公式と非線形期待値の性質を活用し、$ L_G^p $-ノルム下での解の整合性と安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形期待値下で経路依存関数に適応可能なソボレフ型空間をどのように一般化できるか？
• RQ2 G・ブラウン運動に従う後向きSDEと経路依存PDEとの間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 弱解をより広範な関数空間に定式化することで、特に線形または退化した場合のより正則性が低い解を含めることは可能か？
• RQ4 G-BSDEフレームワークは、$ G(a) = \frac{a}{2} $ のとき、古典的線形BSDE-PDE双対性をどのように回復するか？
• RQ5 G-ソボレフ空間フレームワーク下での解の存在および一意性に必要な十分条件は何か？

主な発見

• G-ソボレフ空間 $ W_G^{1,2;p}(0,T) $ 内で、G-BSDEの解と経路依存PDEの粘性解との間の一対一対応が確立された。
• $ f $ が $ D_x^2 u $ に依存しない場合、$ W_{\mathcal{A}_G}^{\frac{1}{2},1;p}(0,T) $ における弱解の定式化が導入され、これは $ W_G^{1,2;p}(0,T) $ を一般化し、[HJPS12]で研究されたG-BSDEと一致する。
• G期待値で重み付けされたノルム下で、解空間 $ W_G^{1,2;p}(0,T) $ が完備であることが示され、PDEの適切な定式化が保証された。
• $ G(a) = \frac{a}{2} $ のとき、フレームワークは古典的ウィener確率空間に還元され、対応関係は標準的BSDE-PDE双対性に回復され、ウィener測度で重み付けされたソボレフ空間内の解が得られる。
• 本稿では、列 $ \{\eta_n\} $ が $ \tilde{M}_G^p $-ノルムでコーシー列であり、かつ $ \|\eta_n\|_{M_G^p} \to 0 $ ならば $ \|\eta_n\|_{\tilde{M}_G^p} \to 0 $ であることを証明し、拡張された空間内での収束性を保証した。
• G・マルティンゲール分解と時間平均化近似を用いて、$ \int_0^t \eta_s^+ ds = 0 $ および $ \int_0^t \eta_s^- ds = 0 $ を示し、$ \|\eta\|_{\tilde{M}_G^p} = 0 $ を得た。これにより、解の一意性と安定性が確認された。