[論文レビュー] Generalized hybrid momentum maps and reduction by symmetries of forced mechanical systems with inelastic collisions

Leonardo Colombo, Manuel de León+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2021

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非弾性衝突を伴う外力が作用する力学系における対称性削減を可能にする一般化されたハイブリッドモーメント写像を導入する。これは、古典的なRouthおよびMarsden-Weinsteinの削減をハイブリッド系へ拡張したものであり、主な貢献は、時間に依存する対称性、外部力、非弾性衝突を伴う非自励および非自励系のためのフレームワークを提供することである。衝突の前後でモーメント写像が変化するため、各衝突区間ごとに一連の削減された系が得られる。

ABSTRACT

This paper discusses reduction by symmetries for autonomous and non-autonomous forced mechanical systems with inelastic collisions. In particular, we introduce the notion of generalized hybrid momentum map and hybrid constants of the motion to give general conditions on whether it is possible to perform symmetry reduction for Hamiltonian and Lagrangian systems subject to non-conservative external forces and non-elastic impacts, as well as its extension to time-dependent mechanical systems subject to time-dependent external forces and time-dependent inelastic collisions. We illustrate the applicability of the method with examples and numerical simulations.

研究の動機と目的

• 非保存的力および非弾性衝突を受けるハイブリッド力学系への対称性削減技法の拡張を目的とする。標準的なモーメント写像が保存されない場合でも可能である。
• 外力、非自励、ハイブリッド力学系に非弾性衝突が存在する場合の体系的削減フレームワークの欠如に対処する。
• 非弾性衝突に伴いモーメントが変化する状況を扱えるように、ハイブリッドモーメント写像の概念を一般化し、衝突区間全体にわたる削減を可能にする。
• ラグランジュ的およびハミルトニアン的設定の両方における幾何的フレームワークを提供し、時間に依存する系を含む。
• 時間に依存するスイッチング面および非弾性衝突を伴う回転および並進自由度を持つ力学系の例を通じて理論の適用可能性を示す。

提案手法

• 非弾性衝突の前後でも保存量を追跡できる一般化されたハイブリッドモーメント写像の概念を導入し、モーメント値が変化する場合でも有効である。
• 一般化されたモーメント写像を用いて、ハミルトニアンおよびラグランジュ的フレームワークにおける削減手順を定式化し、連続的および離散的ダイナミクスの両方で一貫性を保証する。
• コシミプレクティック幾何学の幾何的フレームワークを用いて、時間に依存するラグランジアンおよび外部力を持つ非自励系への削減を拡張する。
• スイッチング面および衝突写像をモーメント写像の値に基づいて定義し、各衝突後に削減空間内での軌道再構成を可能にする。
• 時間に依存する系として、二つの動く壁の間を跳ね返るディスクを用いた例に理論を適用し、衝突写像が回転および並進モーメント成分を変化させることを示す。
• モーメント写像成分を用いて系を記述することで、削減されたダイナミクスを導出し、削減された系がモーメント値によってインデックス付けられた一連のシンプレクティック多様体上を進化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非弾性衝突を伴い、モーメント写像が衝突の前後で保存されないハイブリッド力学系において、対称性削減を一般化することは可能か？
• RQ2 非弾性衝突に伴いモーメントが変化する外力が作用する力学系において、その変化を考慮した一般化されたハイブリッドモーメント写像をどのように定義できるか？
• RQ3 時間に依存する対称性および外部力を持つ非自励系において、削減手順が有効であるための条件は何か？
• RQ4 非弾性衝突および非保存的力が存在する場合、この削減フレームワークは、古典的なRouthまたはMarsden-Weinsteinの削減とどのように異なるか？
• RQ5 時間に依存するスイッチング面および衝突写像を伴う系、例えば動く壁に衝突するディスクのような系に理論を適用可能か？

主な発見

• 一般化されたハイブリッドモーメント写像により、衝突の前後でモーメント写像値が変化する非弾性衝突を伴う系においても対称性削減が可能である。これは、標準的なハイブリッドモーメント写像とは異なり、衝突の前後でモーメント値が変化するためである。
• 例25において、モーメント写像 $(\bar{J}_L)_F = (mr^2\dot{\theta}, mk^2\dot{\vartheta})$ は一般化されたハイブリッドモーメント写像ではあるが、標準的なハイブリッドモーメント写像ではない。なぜなら $\mu_1^+ = -\mu_1^-$ かつ $\mu_2^+ = \mu_2^-$ であるため、第1成分に変化が生じているからである。
• 削減されたスイッチング面 $S_{(\mu_1,\mu_2)}$ はモーメント写像の値に依存し、$r\sin\varphi = R$ または $r\sin\varphi = f(t) - R$ で定義され、さらに $\dot{r}\cos\varphi - r\frac{\mu_1}{mr^2}\sin\varphi = R\frac{\mu_2}{mk^2}$ の条件を満たす。
• 非自励系では、コシミプレクティックフレームワークを用いて拡張され、時間に依存するラグランジアンおよび衝突写像を持つ系の削減が可能になる。
• 各衝突後の削減されたダイナミクスは、モーメント写像値によってインデックス付けられた異なるシンプレクティック多様体上を進化し、一連の削減されたハイブリッド系が得られる。
• 数値シミュレーションにより、削減の有効性が確認され、複数回の衝突にわたって削減空間内での軌道再構成が一貫して得られている。