[論文レビュー] Generating functions for K-theoretic Donaldson invariants and Le Potier's strange duality

Lothar Göttsche, Yuan Yao|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、壁越え公式とシータ関数を用いて、有理的表面、特に$\mathbb{P}^2$、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$、および$\widehat{\mathbb{P}}^2$におけるK理論的ドナルドソン不変量の母関数を計算する。また、特定のランク2およびランク0の層クラスに対してル・ポティエの奇妙な双対性を証明し、モジュライ空間上の行列式ラインバンドルの切断空間の間の同型を確立する。

ABSTRACT

K-theoretic Donaldson invariants are holomorphic Euler characteristics of determinant line bundles on moduli spaces of sheaves on surfaces. We compute generating functions of K-theoretic Donaldson invariants on the projective plane and rational ruled surfaces. We apply this result to prove some cases of Le Potier's strange duality.

研究の動機と目的

• 有理的表面上の層のモジュライ空間におけるK理論的ドナルドソン不変量の母関数を計算すること。
• 双対なモジュライ空間上の行列式ラインバンドルのコホロロジーを関連付けるル・ポティエの奇妙な双対性の特定のケースを確立すること。
• ブロー・アップ公式を拡張し、母関数のモジュラー性および消滅性の性質を分析すること。
• 特定の層クラス：$c = (2,0,c_2)$ および $c^* = (0,L,\chi=0)$ で $L = -K_X$ または $-K_X + F$、および $\mathbb{P}^2$ 上の $c = (2,H,c_2)$ と $c^* = (0,2H,\chi=-1)$ に対して奇妙な双対性を検証すること。
• 極大な$c_2$に対して奇妙な双対性写像が極大な$H$に依存しないことと、写像が全射であることを示すことによって、同型であることを示すこと。

提案手法

• 文献[11]の壁越え公式を用いて、$\mathbb{P}^2$および有理的ルールド表面におけるK理論的ドナルドソン不変量の母関数を計算する。
• 母関数を表現するためにシータ関数とモジュラー形式を適用し、特に$d = 4c_2 - c_1^2$を満たすクラスに対して有効である。
• 壁越えにおける多項式性および消滅結果を用いて計算を簡略化し、母関数のモジュラー性を証明する。
• $K(X)$内のクラスに関連する行列式ラインバンドル$\mathcal{D}_{c,c^*}$を、ベクトルバンドルからの$\lambda$-構成を用いてモジュライ空間$M_H^X(c)$上に構成する。
• ブロー・アップ公式および拡張技術を用いて、$\widehat{\mathbb{P}}^2$上の不変量を$\mathbb{P}^2$上の不変量に関連付け、再帰的計算を可能にする。
• 消滅定理およびコホロロジー的基準（例：$H^0(\mathcal{E}^i_2 \otimes \mathcal{G}^j) = 0$ が $i = j$ であるとき）を用いて、奇妙な双対性写像の全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的表面$\mathbb{P}^2$および有理的ルールド表面におけるK理論的ドナルドソン不変量の母関数は何か？
• RQ2 壁越え公式とシータ関数は、これらの不変量の計算をどのように支援するか？
• RQ3 $\mathbb{P}^2$および$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$におけるランク2およびランク0の層のモジュライ空間に対して、ル・ポティエの奇妙な双対性は成り立つか？
• RQ4 奇妙な双対性写像$SD_{c,c^*}$の構造は何か？また、いつ同型となるか？
• RQ5 不変量は、極大な$H$の選択にどの程度依存するか？

主な発見

• 有理的表面$X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$および$X = \widehat{\mathbb{P}}^2$に対して、$\frac{a}{b} \geq \frac{n+2}{4}$のとき、$\sum_{d>0} \chi(M_H^X(F,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$が成り立つ。
• $X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$に対して、$n \in \mathbb{Z}$のとき、$\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{n+1}}$が成り立つ。
• $X = \widehat{\mathbb{P}}^2$に対して、$n \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}$のとき、$\sum_{d>0} \chi(M_H^X(0,d), \mu(nF + G)) \Lambda^d = \frac{1}{(1 - \Lambda^4)^{2n+2}}$が成り立つ。
• ル・ポティエの奇妙な双対性は、$c = (2,0,c_2)$および$c^* = (0,L,\chi=0)$（$L = -K_X$ または $-K_X + F$）に対して成り立ち、$c_2 \geq 2$のとき奇妙な双対性写像$SD_{c,c^*}^g$は全射である。
• $X = \mathbb{P}^2$に対して、$c = (2,H,c_2)$、$c^* = (0,2H,\chi=-1)$のとき、奇妙な双対性写像$SD_{c,c^*}$は全射であり、母関数は大きな$c_2$に対して極大な$H$に依存しない。
• 母関数が壁越えおよび極大な$H$の選択に依存しないことから、$c_2 \gg 0$のとき奇妙な双対性写像は同型である。