[論文レビュー] Generation for Lagrangian cobordisms in Weinstein manifolds

Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、停止付きワインベルク多様体におけるラグランジュ同相の∞-圏が、ラグランジュ共核とリンクディスクによって生成されることを確立し、任意の正確なブレーンを同相による構成的幾何的解体で標準的対象へと表現することを可能にする。この結果により、すべての安定化ブレーンが、余接ファイバーの直積和とゼロ対象へのラグランジュ同相をもつことが示され、従来のフクヤカテゴリカル生成結果よりも強い幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We prove that Lagrangian cocores and Lagrangian linking disks of a stopped Weinstein manifold generate the Lagrangian cobordism infinity-category. As a geometric consequence, we see that any brane (after stabilization) admits a Lagrangian cobordism to a disjoint union of some standard collection of branes (cocores, linking disks, and a zero object). For example, when our stopped Weinstein manifold is a point stopped by itself, we find that any exact brane in Euclidean space admits a Lagrangian cobordism to a disjoint union of cotangent fibers and a zero object. (This is a stronger statement than one could obtain from purely Fukaya-categorical generation results.) Our methods are constructive. For example, when our Weinstein manifold is a point, after stabilization we can resolve the conormal to a compact manifold A of R^n by a sequence of cotangent fibers; the resulting filtration realizes, after passage to the wrapped Fukaya category, the Morse cochain complex of A associated to (and hence filtered by) a generic ``distance to a point'' function; the associated gradeds are the reduced homologies of the Morse attaching spheres. There is also an algebraic consequence. Lagrangian cobordism theory is conjectured (in analogue to classical cobordism theory) to be linear over a ring spectrum L controlling Lagrangian cobordisms between cotangent fibers in Euclidean spaces. Our main theorem gives strong evidence for this conjecture: The infinity-category of Lagrangians and their cobordisms in R^infinity is equivalent to a full subcategory of modules over L. We conclude by proving a π_0-level theorem that gives further evidence of the above conjecture: We exhibit a π_0-level symmetric monoidal structure compatible with the linear structure of L-modules.

研究の動機と目的

• 停止付きワインベルク多様体におけるラグランジュ同相の∞-圏の幾何的生成結果を確立すること。
• 任意の正確なブレーンを、共核、リンクディスク、およびゼロ対象を含む標準的対象へのラグランジュ同相として構成的に実現する方法を提供すること。
• 無限遠における挙動を制御した同相の明示的構成により、純粋にフクヤカategoricalな生成よりも強い幾何的実現を提供すること。
• 余接ファイバー間の同相を制御する環スペクトル$σ$に沿ったラグランジュ同相理論が$σ$-モジュールの線形的構造を持つという予想に対する代数的証拠を提供すること。
• ラグランジュ同相のホモトピー圏に、$σ$-モジュールの線形構造と整合する$π_0$-レベルの対称モノイド構造を構成すること。

提案手法

• ハミルトニアン同倫と錐構造を用いて、無限遠で原始関数が消えるように、明示的なラグランジュ同相を構成する。
• コン pact な部分多様体$A \subset \mathbb{R}^n$の余接バンドルを、余接ファイバーの列によるフィルトレーションで解体し、$A$のモースコチェイン複体を実現する。
• 包絡フクヤカテゴリを用いて、対応する各層がモース付着球の減少ホモロジーと同型であることを解釈する。
• カルテシアン積とスワップ写像を用いて、$σ$-モジュールのホモトピー圏に、対称モノイド構造を定義し、回転ベクトル場を用いて検証する。
• 同相圏におけるマッピングコーンを、射のコーンとの積として幾何的に実現し、三角構造を保存する。
• $σ$-モジュールが同相圏に作用する双モジュール構造を、ラグランジュ部分多様体とのテンソル積を用いて定義し、対称モノイド構造と整合するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止付きワインベルク多様体内の任意の正確なブレーンは、共核とリンクディスクへのラグランジュ同相によって幾何的に解体可能か？
• RQ2 停止付きワインベルク多様体におけるラグランジュ同相の∞-圏は、共核とリンクディスクによって幾何的に生成可能か？
• RQ3 ラグランジュ同相理論が環スペクトル$σ$に沿って線形的であるという代数的予想は、カテゴリカル同値により裏付けられるか？
• RQ4 ラグランジュ同相のホモトピー圏に、$σ$-モジュール構造と整合する$π_0$-レベルの対称モノイド構造が存在するか？
• RQ5 余接ファイバーの列による余接バンドルのフィルトレーションは、基底多様体のモースコチェイン複体とどのように関係するか？

主な発見

• 停止付きワインベルク多様体におけるラグランジュ同相の∞-圏は、安定∞-圏として、ラグランジュ共核とリンクディスクによって生成される。
• 停止付きワインベルク多様体内の任意の安定化された正確なブレーンは、共核、リンクディスク、およびゼロ対象の直積和へのラグランジュ同相をもつ。
• ワインベルク多様体が一点の場合、$T^*ℝ^N$内の任意の正確なブレーンは、余接ファイバーの直積和とゼロ対象への同相をもつ。
• コンパクト部分多様体$A \subset \mathbb{R}^n$のモースコチェイン複体は、余接ファイバーのフィルトレーションにより実現され、対応する各層はモース付着球の減少ホモロジーと同型である。
• $ℝ^∞$におけるラグランジュ同相の∞-圏は、環スペクトル$σ$のモジュールのフル部分圏と同値である。
• $σ$-モジュールのホモトピー圏に、$σ$-モジュールの双モジュール作用と整合する$π_0$-レベルの対称モノイド構造が構成された。