[論文レビュー] Koszul duality between Higgs and Coulomb categories $\mathcal{O}$

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、Higgs 側の G-不変 D-加群の圏と、量子化されたカーライ・ブランチ上の重み付き加群の圏の間のコシュール双対性を、共通の組合せ的圏をブリッジとして確立する。この双対性は再帰的群 G および表現 V に対して普遍的に成り立ち、型 A のパラボリック・特異的カテゴリ O 双対性や超トーリックコシュール双対性といった既知の双対性に特殊化される。

ABSTRACT

We prove a Koszul duality theorem between the category of weight modules over the quantized Coulomb branch (as defined by Braverman, Finkelberg and Nakajima) attached to a group $G$ and representation $V$ and a category of $G$-equivariant D-modules on the vector space $V$. This is proven by relating both categories to an explicit, combinatorially presented category. These categories are related to generalized categories $\mathcal{O}$ for symplectic singularities. Letting $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}$ and $\mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$ be these categories for the Coulomb and Higgs branches associated to $V$ and $G$, we obtain a functor $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}^! o \mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$ from the Koszul dual of one to the other. This functor is an equivalence in the special cases where the hyperkähler quotient of $T^*V$ by $G$ is a Nakajima quiver variety or smooth hypertoric variety. This includes as special cases the parabolic-singular Koszul duality of category $\mathcal{O}$ in type A, the categorified rank-level duality proposed by Chuang and Miyachi and proven by Shan, Vasserot and Varagnolo, and the hypertoric Koszul duality proven by Braden, Licata, Proudfoot and the author. We also show that this equivalence intertwines so-called twisting and shuffling functors. This together with the duality discussed confirms the most important components of the symplectic duality conjecture of Braden, Licata, Proudfoot and the author in this case.

研究の動機と目的

• 量子化されたカーライ・ブランチ上の重み付き加群の圏と、Higgs 側の G-不変 D-加群の圏の間の均一なコシュール双対性を確立すること。
• 型 A のパラボリック・特異的カテゴリ O 双対性や超トーリック双対性といった既知の特殊ケースを含む、コシュール双対性の統一的枠組みを提供すること。
• T∗V に G によるハイパーケーラー商を施して得られるシンプレクティック特異点に対して、シンプレクティック双対性予想の主要な要素を確認すること。
• 双対性関手がねじれ関手とシャッフル関手を交換することを示し、シンプレクティック双対性予想が予測する構造と整合すること。
• アフィン・グラスマンニアンに依存しない、代数的かつ組合せ的に提示されたカーライ・ブランチのモデルを構成することで、一般化と証明を可能にすること。

提案手法

• Higgs 側と Coulomb 側のカテゴリ O 間のブリッジとして、共通の組合せ的圏（シュタインベルク圏）を定義する。
• McGerty と Nevins の手法に従い、T∗V 上の微小局所 D-加群のハミルトニアン還元を用いて Higgs 側の圏を定義する。
• アフィン・グラスマンニアンを介した幾何的実現に依存しない、量子化されたカーライ・ブランチの純代数的提示により Coulomb 側の圏を構成する。
• 重み付き加群に関連する次数付き代数にコシュール双対理論を適用し、二次双対構成を用いて両圏を関連付ける。
• ハイパーケーラー商がナカジュマのクイバー多様体または滑らかな超トーリック多様体である場合に、得られた双対性関手が同値であることを証明する。
• 組合せ的モデル上の作用を分析することで、双対性関手がねじれ関手とシャッフル関手を交換することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の再帰的群 G および表現 V に対して、Higgs 側と Coulomb 側のカテゴリ O 間に均一なコシュール双対性が存在するか？
• RQ2 この双対性は、型 A のパラボリック・特異的カテゴリ O 双対性や超トーリックコシュール双対性といった既知のケースに特殊化されるか？
• RQ3 アフィン・グラスマンニアンへの依存を避けて、量子化されたカーライ・ブランチを代数的に記述できるか？
• RQ4 双対性関手は、シンプレクティック双対性予想が予測するように、ねじれ関手とシャッフル関手の構造を保存するか？
• RQ5 どのような条件下で双対性が同値となり、ハイパーケーラー商の幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、量子化されたカーライ・ブランチ上の重み付き加群の圏と、Higgs 側の G-不変 D-加群の圏の間のコシュール双対性同値を構成する。
• この双対性は、両側のモデルを統一する共通の組合せ的圏を介して確立される。
• ハイパーケーラー商がナカジュマのクイバー多様体または滑らかな超トーリック多様体である特殊ケースにおいて、同値性が成り立つ。
• 双対性関手はねじれ関手とシャッフル関手を交換し、シンプレクティック双対性予想の重要な予測を確認する。
• 本稿は、一般の G および V に対して、アフィン・グラスマンニアンに依存しない、完全に代数的な量子化されたカーライ・ブランチの記述を初めて提供する。
• 結果は、型 A のパラボリック・特異的双対性や、Shan, Vasserot, Varagnolo によって証明された Chuang–Miyachi のカテゴライズド・ランク・レベル双対性を含む、既知のコシュール双対性の例を統一・一般化する。