[論文レビュー] Genus-zero and genus-one string amplitudes and special multiple zeta values

Don Zagier, Federico Zerbini|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

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ひとこと要約

本稿は、特異な多重ゼータ値の線形結合を通じて、摂動的弦理論における genus-zero と genus-one のストリング振幅の間の深い関係を確立する。主な結果は、生成関数としての genus-one モジュラー・グラフ関数と閉弦のバーラソロ振幅を結ぶ新しい恒等式を示し、その係数が特殊な多重ゼータ値の有理数スパンに属することを証明する。これにより、ブラウンの単一値写像を用いて、文献にあった予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper we show that in perturbative string theory the genus-one contribution to formal 2-point amplitudes can be related to the genus-zero contribution to 4-point amplitudes. This is achieved by studying special linear combinations of multiple zeta values that appear as coefficients of the amplitudes. We also exploit our results to relate closed strings to open strings at genus one using Brown's single-valued projection, proving a conjecture of Broedel, Schlotterer and the second author.

研究の動機と目的

• 摂動的弦理論における genus-zero と genus-one のストリング振幅の間の数学的ブリッジを確立すること。
• genus-one モジュラー・グラフ関数 Dℓ(τ) の係数が特殊な多重ゼータ値 Z(k,r) の有理数線形結合であることを証明すること。
• ブラウンの単一値写像を用いて、genus one における閉弦振幅と開弦振幅を関連づけ、文献にあった予想を確認すること。

提案手法

• 著者らは、整数を 1 と 2 への成分に分けたものの重み付き和として、特殊な多重ゼータ値 Z(k,r) を定義する。ここで係数は 1 の個数に依存する。
• Euler の公式 log Γ(1+x) を用いて、閉弦バーラソ振幅 V^(cl)(s,t,u) のテイラー係数が Z(k,r) の有理数スパンに属することを示す。
• Laurent多項式 dℓ(Y) の係数から生成される関数 W^(cl)(X,Y) を構成する。これは genus-one 振幅を記述する。
• 鍵となる恒等式 W^(cl)(X,Y) = V^(cl)(2X, -X-Y, Y-X) / [X(X+Y)(Y-X)] を導出し、genus-one 振幅と genus-zero 振幅を結ぶ。
• リーマン面におけるグリーン関数の計量不変性と、それらの指数関数的形 H が計量の変更に対して不変であることに基づいて証明を行う。
• 開弦と閉弦振幅を genus one で関連付けるために、多重ゼータ値の単一値写像を適用し、予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング振幅の文脈において、genus-one モジュラー・グラフ関数 Dℓ(τ) の係数は、多重ゼータ値とどのように関係しているか？
• RQ2 genus-one の 2 点振幅への寄与は、特殊な多重ゼータ値の組み合わせを通じて、genus-zero の 4 点振幅で表現可能か？
• RQ3 ブラウンの単一値写像は、文献にあった予想のように、genus one における開弦と閉弦振幅の間で一貫した写像を提供するか？
• RQ4 Dℓ(τ) の漸近展開における Laurent 多項式 dℓ(Y) の係数 γn,k は、Z(k,r) 値の有理数線形結合か？
• RQ5 閉弦振幅 V^(cl)(s,t,u) のテイラー係数がなすベクトル空間の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• genus-one モジュラー・グラフ関数 Dℓ(τ) の漸近展開における Laurent 多項式 dℓ(Y) の係数が、特殊な多重ゼータ値 Z(k,r) の有理数線形結合であることが示された。
• dℓ(Y) の係数 γn,k の生成関数 W^(cl)(X,Y) は、恒等式 W^(cl)(X,Y) = V^(cl)(2X, -X-Y, Y-X) / [X(X+Y)(Y-X)] を満たし、genus-one 振幅と genus-zero 振幅を結ぶ。
• 閉弦振幅 V^(cl)(s,t,u) のテイラー係数 e_{p,q} は、Z(k,r) 値の生成する有理数ベクトル空間に属し、重み w に対して両空間とも次元 O(w) である。
• 本稿は、genus-one の閉弦振幅がブラウンの単一値写像を介して genus-zero の開弦振幅と関連づけられることを確認し、開弦と閉弦の間に genus one で直接的な接続を確立した。
• 特殊な多重ゼータ値 Z(k,r) が、グリーン、ラッスォ、ヴァンホーヴェが研究した非正則モジュラー関数の主要項に現れるものと同じものであることが示され、物理的および数論的整合性の確認が得られた。
• V^(cl) の係数 e_{p,q} がなすベクトル空間 E_w と、Z(k,r) がなすベクトル空間 D_w が、ともに奇数のゼータ値の重み w の多項式空間の部分空間であり、両者とも次元 O(w) であることが示された。