[論文レビュー] Geodesics Currents and Counting Problems

Kasra Rafi, Juan Souto|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな曲面上のカurrent空間上の正で連続かつ同次的な関数に対して、充填カurrentの写像類群軌道の数の一般化された漸近的数え上げ公式を確立する。写像類群の測度付きラミネーションへの作用とセリフストンの測度付きラミネーション測度を用いて、このような軌道の増加率が幾何的不変量の積によって支配されることを証明し、ミルザカニの曲線数え上げ結果を拡張するとともに、セリフストン距離を備えたテイコフラー空間における格子数え上げ定理を確立する。

ABSTRACT

For every positive, continuous and homogeneous function $f$ on the space of currents on a compact surface $\overlineΣ$, and for every compactly supported filling current $α$, we compute as $L o \infty$, the number of mapping classes $ϕ$ so that $f(ϕ(α))\leq L$. As an application, when the surface in question is closed, we prove a lattice counting theorem for Teichmüller space equipped with the Thurston metric.

研究の動機と目的

• カurrent空間上の正で連続かつ同次的な関数に対して、ミルザカニの曲線数え上げ定理を一般化すること。
• セリフストン距離を備えたテイコフラー空間における格子数え上げ定理を確立すること。
• このような関数の下で、充填カurrentの写像類群軌道の漸近的増加率を計算すること。
• 数え上げ問題を幾何的不変量を通じてセリフストン測度とワイエル・ペトリソン体積に結びつけること。

提案手法

• 写像類群がカurrent空間に作用することと、セリフストン測度のプッシュフォワードを用いて、カurrent上に自然な不変測度を定義する。
• 関数 $ m(f) $ を、$ f(\lambda) \leq 1 $ を満たす測度付きラミネーションの集合のセリフストン測度として定義し、$ m(\alpha) $ を充填カurrent $ \alpha $ との交差積として定義する。
• 軌道測度の等分布に関するリンデンストラウス＝ミルザカニの定理を適用し、スケーリングされた数え上げ測度がセリフストン測度の定数倍に収束することを示す。
• 等分布と交差積の対称性から導かれる重要な恒等式 $ \nu = \frac{m(\alpha)}{\mathbf{m}_\Sigma} \mu_{\text{Thu}} $ を用いる。
• $ D_X(\eta) = \sup_{\mu \in \mathcal{ML}} \frac{i(\mu,\eta)}{\ell_X(\mu)} $ であるという事実を活用し、セリフストン距離と交差積を関連付ける。
• 主定理を証明するため、$ f(\phi(\alpha)) \leq L $ を満たす $ \phi \in \text{Map}(\Sigma) $ の数が、$ L \to \infty $ の下で $ \frac{m(\alpha)\,m(f)}{\mathbf{m}_\Sigma} L^{6g+2n-6} $ に漸近的に増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カurrent空間上の正で連続かつ同次的な関数の下で、充填カurrentの写像類群軌道の数の漸近的増加率は何か？
• RQ2 このような軌道の数え上げは、モジュライ空間上のセリフストン測度とワイエル・ペトリソン体積のどちらと関係があるか？
• RQ3 セリフストン距離を備えたテイコフラー空間において、格子数え上げ定理を確立できるか？
• RQ4 写像類群作用の下で、長さが有界な曲線の数え上げの漸近的公式における正確な定数は何か？
• RQ5 カurrent上での正規化された軌道測度の等分布は、セリフストン測度とどのように関係するか？

主な発見

• 充填カurrent $ \alpha $ と関数 $ f $ の下で、写像類群軌道の数の漸近的増加率は、$ L \to \infty $ の下で $ \frac{m(\alpha)\,m(f)}{\mathbf{m}_\Sigma} L^{6g+2n-6} $ に漸近的に増加する。
• 定数 $ \mathbf{m}_\Sigma = \int_{\mathcal{M}(\Sigma)} m(X) \, d\!\text{vol}_{\text{wp}} $ は、モジュライ空間全体にわたるセリフストン測度正規化の積分である。
• 正規化された軌道測度 $ \nu_\alpha^L $ の等分布から、任意の弱収束極限が、定数 $ \frac{m(\alpha)}{\mathbf{m}_\Sigma} $ を乗じたセリフストン測度の倍数であることが示される。
• 結果として、ミルザカニの曲線数え上げ定理が、定数 $ n_\gamma = m(\gamma) $ を明示的に計算することで拡張され、彼女の研究における未解決の問題が解決される。
• セリフストン距離を備えたテイコフラー空間における格子数え上げ定理が確立される：ある点からのセリフストン距離 $ R $ 以内の $ \phi(\gamma) $ の数は、$ e^{(6g+2n-6)R} $ に漸近的に増加し、正確な漸近的定数が得られる。
• 関数 $ D_X(\eta) = \sup_{\mu \in \mathcal{ML}} \frac{i(\mu,\eta)}{\ell_X(\mu)} $ は $ d_{\text{Thu}}(X,Y) = \log D_X(Y) $ を満たし、これにより主定理をセリフストン距離に適用可能となる。