[論文レビュー] Geometrical pluripotential theory on Sasaki manifolds

Weiyong He, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、接触分配とリーブ foliation による横断的ケーラー構造を活用することで、複素多様体の多変数関数論的理論の基礎的結果をケーラー多様体からササキ多様体へ拡張する。横断的ケーラー潜在関数の空間は、$d_p$-距離に関して完備な測地的距離空間をなし、$d_p$-距離とエネルギー関数 $I_p$ の間で一様同値性が確立される。これらの結果は、定スカラー曲率ササキ計量の存在を、$Χ$-エネルギーのproperness によって特徴付けるために不可欠である。

ABSTRACT

We extend profound results in pluripotential theory on Kahler manifolds to Sasaki setting via its transverse Kahler structure. As in Kahler case, these results form a very important piece to solve the existence of Sasaki metrics with constant scalar curvature (cscs) in terms of properness of K-energy. One main result is to generalize T. Darvas' theory on the geometric structure of the space of Kahler potentials in Sasaki setting. Along the way we extend most of corresponding results in pluripotential theory to Sasaki setting via its transverse Kahler structure.

研究の動機と目的

• ケーラー幾何からササキ幾何への多変数関数論的理論の深い結果を、横断的ケーラー構造を用いて拡張すること。
• T. Darvas が構築したケーラー潜在関数空間の幾何的枠組みをササキ設定へ一般化すること。
• $d_p$-距離に関して、空間 $\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$ が完備な測地的距離空間であることを確立すること。
• 定スカラー曲率ササキ計量の存在問題に対する多変数関数論的理論的基盤を提供すること。
• $\mathcal{K}$-エネルギー関数を $\mathcal{E}_1$ へ拡張し、有限エネルギー測地線に沿ってその凸性を証明すること。

提案手法

• リーブ foliation と接触分配から誘導されるササキ多様体上の横断的ケーラー構造を利用する。
• $\omega_\phi = \omega^T + dd^c_B\phi > 0$ を満たす $\phi \in C^\infty_B(M)$ として横断的ケーラー潜在関数の空間 $\mathcal{H}$ を定義し、$d_p$-距離に関する距離的完備化によって $\mathcal{E}_p$ へ拡張する。
• $\mathcal{E}_p$ 上に $d_p$-距離を導入し、それが一意的な有限エネルギー測地線をもつ完備な測地的距離空間であることを証明する。
• $p \in [1,\infty)$ に対して、$C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$ という一様同値性を確立し、$C = C(n,p) > 1$ とし、幾何的距離とエネルギー関数の間の関係を結ぶ。
• foliation のチャートで Zeriahi の一様スコーダ可積分定理を適用し、エントロピーを制御し、$\mathcal{E}_1$ におけるコンパクト性を証明する。
• $\mathcal{H}$ 上への制限の $d_1$-下半連続拡張として、$\mathcal{E}_1$ に $\mathcal{K}$-エネルギーを一意に拡張し、有限エネルギー測地線に沿ってその凸性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Darvas が構築したケーラー潜在関数空間の幾何的構造が、横断的ケーラー幾何を用いてササキ設定へ一般化可能か。
• RQ2 $d_p$-距離に関して、$p \in [1,\infty)$ に対して空間 $\mathcal{E}_p(M,\xi,\omega^T)$ が完備な測地的距離空間か。
• RQ3 ササキ設定において、$d_p$-距離と $I_p$ のようなエネルギー関数との関係は何か。
• RQ4 $\mathcal{K}$-エネルギーは $\mathcal{E}_1$ に $d_1$-下半連続関数として拡張可能か。また、有限エネルギー測地線に沿ってその凸性は保たれるか。
• RQ5 $d_1$-有界性と一様なエントロピー制御は、$\mathcal{E}_1$ における $d_1$-前コンパクト性を意味するか。

主な発見

• $({\mathcal{E}}_p(M,\xi,\omega^{T}),d_{p})$ はすべての $p \in [1,\infty)$ に対して完備な測地的距離空間であり、任意の二点を結ぶ一意的な有限エネルギー測地線が存在する。
• $C = C(n,p) > 1$ なる一様定数が存在し、$C^{-1}I_p(u,v) \leq d_p(u,v) \leq C I_p(u,v)$ が成り立つ。これにより、幾何的距離とエネルギー関数の間の同値性が確立される。
• $d_p(u, \frac{u+v}{2}) \leq C d_p(u,v)$ が一様に成り立つ。これは、距離空間内での中点の振る舞いが制御可能であることを示している。
• $\mathcal{E}_1$ 内の $d_1$-有界な列で、エントロピーが一様に有界なものは、$d_1$-収束する部分列を含む。これにより、エントロピー制御下での $d_1$-前コンパクト性が証明される。
• $\mathcal{K}$-エネルギーは、$\mathcal{H}$ 上への制限の $d_1$-下半連続拡張として $\mathcal{E}_1$ に一意に拡張され、有限エネルギー測地線に沿ってその凸性が保たれる。
• $d_1$-収束下で $\omega_{u_k}^n \wedge \eta \rightharpoonup \omega_u^n \wedge \eta$ が成り立つ。これにより、極限における体積形式の一貫性が保証される。