[論文レビュー] Geometries with intransitive equivalence relation

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Relativity and Gravitational Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、世界関数σ（二乗距離の半分）を基本的な幾何的要素として用いることで、変形された非推移的同値関係に基づく物理的幾何学を提案する。従来の公理的幾何学とは異なり、座標系や線形ベクトル空間に依存せず、有限分割可能な離散的・粒状の時空を記述可能であり、これは基本粒子の性質を説明する上で鍵となる。

ABSTRACT

One considers geometry with the intransitive equaivalence relation. Such a geometry is a physical geometry, i.e. it is described completely by the world function, which is a half of the squared distance function. The physical geometry cannot be axiomatized, in general. It is obtained as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. Class of physical geometries is more powerful, than the class of axiomatized geometries. The physical geometry admits one to describe such geometric properties as discreteness, granularity and limited divisibility. These properties are important in application to the space-time. They admits one to explain the discrimination properties of the space-time, which generate discrete parameters of elementary particles. Mathematical formalism of a physical geometry is very simple. The physical geometry is formulated in geometrical terms (in terms of points and world function) without a use of means of description (coordinate system, space dimension, manifold, etc.).

研究の動機と目的

• 連続的・公理的幾何学とは不適合な離散的・粒状の性質を有する時空を記述できる幾何的枠組みを構築すること。
• 従来の公理的幾何学に代わる、世界関数σに基づく変形手法を導入し、標準的な公理化に適さない物理的幾何学を可能にすること。
• 非推移的同値関係に起因する多価性と幾何的粒状性から、基本粒子に現れる離散的パラメータの起源を説明すること。
• 微分方程式を一切用いず、世界関数にのみ依存する幾何学的基盤を提供し、有限差分力学を支持すること。
• 質量および粒子の構成を世界鎖を通じて幾何化することにより、物理的幾何学を相対性理論および量子構造の原理と統合すること。

提案手法

• 世界関数σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q)を唯一の幾何的原始要素として用い、固有のユークリッド幾何学の変形によって物理的幾何学を構築する。
• 座標系、多様体、ベクトル空間を一切用いず、σを用いて幾何的対象および関係（例：線分、角、同値関係）を完全に定義する。
• 点の間で非推移的同値関係を導入し、P ~ Q かつ Q ~ R であっても P ~ R とは限らないようにする。これにより多価性および幾何的粒状性が生じる。
• 複合粒子を世界鎖（固定されたσ長のリンクで接続された点の列）としてモデル化し、質量をリンク長によって幾何学的に決定する。
• 有限差分方程式をσに関して用いることで幾何学から力学を導出し、曲がった幾何学における自由粒子運動がミンコフスキー空間における場の中の運動と等価であることを示す。
• 物理的幾何学は一般には公理化不可能であるが、σによって完全に決定され、射影幾何学やアフィン幾何学などの数学的幾何学とは区別される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 公理系に依存せず、世界関数σのみを用いて物理的幾何学を構築できるか？
• RQ2 幾何的関係における非推移的同値関係が、離散的・粒状の時空的性質をどのように生じさせるか？
• RQ3 多価性がどのように、限界のある分割可能性および基本粒子の離散的パラメータを生成するか？
• RQ4 外部場や量子形式主義を導入せず、世界関数の幾何学のみで複合粒子の力学を完全に記述できるか？
• RQ5 ユークリッド幾何学をσによる変形で変形することにより、一般相対性理論および量子的特徴を含む一貫性のある物理的幾何学が得られるか？

主な発見

• 世界関数σに基づく物理的幾何学は一般には公理化不可能であり、従来の幾何学とは区別され、離散的・粒状の時空を記述可能である。
• 非推移的同値関係は多価性を生じさせ、これが時空の粒状性および限界のある分割可能性の幾何的起源である。
• 基本粒子の質量および構造は、世界鎖内のリンク長として幾何学的に定義可能であり、波動関数や量子演算子の導入が不要になる。
• 自由な複合粒子の力学はσに関する有限差分方程式で記述され、特定の極限条件下でのみ微分方程式に還元される。
• ミンコフスキー空間の幾何学を用いることで曲がった時空における力学を記述可能であるが、これは自由運動ではなく有効場の中の運動に対応する。
• σによる変形の手法により、公理の整合性の検証や定理の証明を経ずに、公理的ユークリッド法の制限を回避して物理的幾何学を構築可能である。