[論文レビュー] Global rigidity of conjugations for locally non-discrete subgroups of Diff^w(S^1)

Anas Eskif, Julio C. Rebelo|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、円周 $S^1$ 上の実解析的微分同相写像群 ${\rm Diff}^\omega(S^1)$ の、有限生成で局所 $C^2$-非離散な部分群に対して、グローバルな位相的剛性を確立する。共轭作用の反復と $C^3$-正則化技術を組み合わせることで、このような2つの群を共轭する任意の位相的同相写像が実解析的であることを証明し、滑らかな円周力学における主要な剛性問題を解決する。

ABSTRACT

We prove a global topological rigidity theorem for locally $C^2$-non-discrete subgroups of the group of real analytic diffeomorphisms of the circle.

研究の動機と目的

• 有限生成で局所 $C^2$-非離散な ${\rm Diff}^\omega(S^1)$ の部分群に対するグローバルな位相的剛性定理を確立すること。
• このような群の間の位相的共轭写像が必然的に実解析的微分同相写像であることを示すこと。
• 同じ非離散性条件の下で、双曲的群の ${\rm Diff}^\omega(S^1)$ への表現に対してもこの剛性を拡張すること。
• 反復共轭列の退化を防ぐために解析性が果たす役割を明確にすること。
• 方法の $C^1$-設定における限界を明らかにし、より高い正則性への改良を提案すること。

提案手法

• 高階微分のための Faà di Bruno 公式を活用し、反復共轭作用を用いて群の元を正則化する。
• 導関数の成長を制御するため、スケーリングとして $x \mapsto \lambda x$ の再正規化写像を適用する。
• $C^2$-恒等写像に近いときの $D^3[f_1,f_2]$ の推定に基づき、反復共轭作用の $C^3$-ノルムにおける幾何的減衰を確立する。
• $r \geq 2$ における局所 $C^r$-非離散性が、微分推定の帰納的適用により局所 $C^{r+1}$-非離散性を示す。
• 定常測度論と Ghys の $C^\infty$-接する結果を用い、$C^\infty$-閉包において恒等写像への退化を防ぐ。
• 先行研究のベクトル場技術と $C^3$-正則化を組み合わせ、位相的共轭写像を解析的写像へ上昇させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\rm Diff}^\omega(S^1)$ の2つの部分群間の位相的共轭写像が、いつ実解析的であるか。
• RQ2 $C^2$-非離散性条件を $C^1$-非離散群に弱めるか拡張しても剛性が保たれるか。
• RQ3 反復共轭列が閉包において恒等写像に退化しないように保つために、解析性が果たす役割は何か。
• RQ4 共轭作用の反復とスケーリングによる正則化が、高階正則性をどのように保つのか。
• RQ5 この方法を非アーベル的で非双曲的な群、あるいは高ランクアーベル作用へどの程度拡張できるか。

主な発見

• 有限生成で局所 $C^2$-非離散な ${\rm Diff}^\omega(S^1)$ の部分群の2つを共轭する任意の位相的同相写像は、実解析的微分同相写像でなければならない。
• 再正規化写像 $x \mapsto \lambda x$ の下で、反復共轭作用の $C^3$-ノルムは、$\lambda^{2n} < 1/10$ のとき幾何的減衰を示す。
• $r \geq 2$ における局所 $C^r$-非離散性は、微分推定の帰納的適用により局所 $C^{r+1}$-非離散性を示す。
• スケーリングが1階微分を制御できないため、$C^1$-設定ではこの方法が失敗し、根本的な障害が存在することが示される。
• 解析的仮定が、Ghys の $C^\infty$-接する結果によって示されるように、群の閉包が恒等写像に収縮するのを防ぐために不可欠である。
• 系 C は、ホロノミーが局所 $C^2$-非離散である場合、位相的に共轭な解析的 $S^1$-foliated バンドルの Godbillon-Vey 級数が一致することを確認する。