[論文レビュー] Global Solution to a Nonlinear Fractional Differential Equation for the Caputo-Fabrizio Derivative

Sabrina Roscani, Domingo A. Tarzia+1 more|Conicet|Sep 6, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非特異的指数核を有するCaputo-Fabrizio微分を用いて、非線形分数マーキー微分方程式に対するグローバル解の存在と一意性を確立する。Lipschitz条件 $ L < rac{1}{1-ar{\alpha}} $ の下で、反復的コントラクション写像原理を用いて局所解を拡張することで、解がすべての時間に対して存在することを証明する。また、$ \alpha \nearrow 1 $ の極限において、解は古典的1階微分に収束する。解析には、Mittag-Leffler関数を用いた累乗関数、三角関数、指数関数の微分の明示的計算が含まれる。

ABSTRACT

This paper deals with the fractional Caputo--Fabrizio derivative and some basic properties related. A computation of this fractional derivative to power functions is given in terms of Mittag--Lefler functions. The inverse operator named the fractional Integral of Caputo--Fabrizio is also analyzed. The main result consists in the proof of existence and uniqueness of a global solution to a nonlinear fractional differential equation, which has been solved previously for short times by Lozada and Nieto (Progr. Fract. Differ. Appl., 1(2):87--92, 2015). The effects of memory as well as the convergence of the obtained results when $\al earrow 1$ (and the classical first derivative is recovered) are analyzed throughout the paper.

研究の動機と目的

• 非線形分数マーキー微分方程式に含まれるCaputo-Fabrizio微分に対するグローバル解の存在と一意性を確立すること。
• $ \alpha \nearrow 1 $ の極限におけるCaputo-Fabrizio微分の挙動を分析し、古典的1階微分に収束することを示すこと。
• 累乗関数、正弦、余弦、指数関数のCaputo-Fabrizio微分に対する明示的公式をMittag-Leffler関数を用いて提示すること。
• Caputo-Fabrizio微分に内在する記憶効果、特に関数の全履歴に依存する非局所的依存性を調査すること。
• 以前に知られていた局所解を、連続する時間区間における部分問題を反復的に解くことでグローバル解に拡張すること。

提案手法

• 著者らは、非特異的指数核を有するCaputo-Fabrizio微分を用いる：$ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \frac{1}{1-\alpha} \int_0^t f'(\tau) e^{-\frac{\alpha(t-\tau)}{1-\alpha}} d\tau $。
• $ t^n $、$ \sin(at) $、$ \cos(at) $、$ e^{bt} $ の微分に対する明示的表現をMittag-Leffler関数を用いて導出する。
• 解の枠組みを支援するため、Caputo-Fabrizioの分数マーキー積分の逆作用素を分析する。
• 時間区間 $[T_k, T_{k+1}]$ で反復的にコントラクション写像原理を適用することで、局所解をグローバルに拡張する。
• 各部分問題 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \Phi_k(t, f(t)) $ を、記憶効果を反映するように修正された源項を用いて解くことで、解を構成する。
• 各ステップでコントラクション写像が適用可能であることを保証するため、$ L < \frac{1}{1-\alpha} $ の条件下でグローバル解が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所解が存在する場合、非線形分数マーキー微分方程式に含まれるCaputo-Fabrizio微分に対するグローバル解が存在するか？
• RQ2 $ \alpha \nearrow 1 $ のとき、Caputo-Fabrizio微分はどのように振る舞い、古典的1階微分に収束するか？
• RQ3 $ t^n $、$ \sin(at) $、$ \cos(at) $、$ e^{bt} $ などの初等関数のCaputo-Fabrizio微分は、Mittag-Leffler関数を用いて表現可能か？
• RQ4 記憶効果はCaputo-Fabrizio微分において果たす役割は何か？また、方程式を解くために必要な初期条件にどのように影響するか？
• RQ5 どのような条件下で、$ \mathbb{R}^+ $ 全体にわたるグローバル解に局所解を拡張できるか？

主な発見

• 非線形分数マーキー微分方程式 $ {}^{CF}D^\alpha f(t) = \varphi(t, f(t)) $ に対して、$ \varphi $ のリプシッツ定数 $ L $ が $ L < \frac{1}{1-\alpha} $ を満たすとき、グローバル解が存在し、一意的である。
• 解は、$ T_{k+1} - T_k < \frac{1 - (1-\alpha)L}{\alpha L} $ を満たす区間 $[T_k, T_{k+1}]$ で部分問題を反復的に解くことで構成され、各ステップで収束が保証される。
• $ \alpha \nearrow 1 $ のとき、Caputo-Fabrizio微分は点単位で古典的1階微分に収束し、解は通常のODEの解に収束する。
• Caputo-Fabrizio作用素下での $ t^n $ の微分は、Mittag-Leffler関数の組み合わせとして表現され、本稿で明示的に計算されている。
• $ \sin(at) $、$ \cos(at) $、$ e^{bt} $ の微分もMittag-Leffler関数を用いて計算されており、初等関数に対する演算の扱いやすさが示されている。
• 記憶効果は解法プロセスに顕著に現れる：各部分問題の初期条件は、境界点での値だけでなく、直前の時刻までの全履歴に依存する。