[論文レビュー] GLSM's, gerbes, and Kuznetsov's homological projective duality

Eric Sharpe|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定の二次曲面の完全交差のためのゲージ線形量子模型（GLSM）が、Z₂gerbe構造を持つランドー・ジンツブルグ点を示すことを示しており、分岐二重被覆を介した幾何的解釈が可能である。分解予想を用いることで、これらの段階が双有理的ではないが、クズネツォフのホモロジカル・プロジェクト型双対性を通じて関連していることを示し、行列因子化とクリフォード代数の層を用いて特異な分岐被覆の非可換解消が物理的に実現されることを示している。

ABSTRACT

In this short note we give an overview of recent work on string propagation on stacks and applications to gauged linear sigma models. We begin by outlining noneffective orbifolds (orbifolds in which a subgroup acts trivially) and related phenomena in two-dimensional gauge theories, which realize string propagation on gerbes. We then discuss the `decomposition conjecture,' equating conformal field theories of strings on gerbes and strings on disjoint unions of spaces. Finally, we apply these ideas to gauged linear sigma models for complete intersections of quadrics, and use the decomposition conjecture to show that the Landau-Ginzburg points of those models have a geometric interpretation in terms of a (sometimes noncommutative resolution of a) branched double cover, realized via nonperturbative effects, rather than as the vanishing locus of a superpotential. These examples violate old unproven lore on GLSM's (e.g., that geometric phases must be related by birational transformations), and we conclude by observing that in these examples (and conjecturing more generally in GLSM's), the phases are instead related by Kuznetsov's `homological projective duality.'

研究の動機と目的

• 2Dゲージ理論におけるgerbeおよび非効果的オルビフォールドにおけるストリングの伝播を理解すること。
• 非摂動的効果を通じてGLSMにおける非可換解消の物理的実現を調査すること。
• GLSMにおける幾何的段階が常に双有理的であるという長年の信念に挑戦すること。
• GLSMにおけるクズネツォフのホモロジカル・プロジェクト型双対性の物理的実現を確立すること。
• 特定のGLSMにおけるランドー・ジンツブルグ点が分解予想を通じて分岐二重被覆に対応することを示すこと。

提案手法

• X 上で自明に作用する部分群 K ⊂ G を用いて、[X/G] としてgerbeをスタックとしてモデル化すること。
• CFTにおけるgerbe上の理論と空間の非交和上の理論を等価とする分解予想の適用。
• 非効果的オルビフォールドにおける1ループ分配関数の分析により、効果的オルビフォールドとは物理的に異なる点を示すこと。
• 二次曲面の完全交差のためのGLSMにおけるZ₂gerbe構造の同定。
• P³ 上の行列因子化とクリフォード代数の層を用いて、ランドー・ジンツブルグ点におけるDブレーンを記述すること。
• クズネツォフのホモロジカル・プロジェクト型双対性を用いて、GLSMにおける非双有理的幾何的段階を関連させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2Dゲージ理論における非効果的群作用は、効果的オルビフォールドとはどのように物理的に異なるか？
• RQ2 分解予想を用いて、GLSMにおけるランドー・ジンツブルグ点の幾何的解釈を与えることができるか？
• RQ3 なぜ一部のGLSMが幾何的段階が常に双有理的であるという標準的常識に背くのか？
• RQ4 クズネツォフのホモロジカル・プロジェクト型双対性はGLSMにおいてどのように物理的に実現されるか？
• RQ5 特異な分岐二重被覆を伴うGLSMにおける非可換解消の役割は何か？

主な発見

• P⁷[2,2,2,2] のGLSMにおけるランドー・ジンツブルグ点は、超ポテンシャルの消失集合としてではなく、P³ への分岐二重被覆として物理的に実現される。
• 分岐二重被覆は特異的であるが、GLSMの物理はそれが滑らかであるかのように振る舞い、非可換解消が生じていることを示唆している。
• 非可換解消は、普遍的二次曲面に関連するクリフォード代数の偶数部であるBのB-加群の層を用いて定義される。
• ランドー・ジンツブルグ点におけるDブレーンは行列因子化で記述され、これがB-加群の層と一致し、非可換解消が確認される。
• このGLSMの2つの幾何的段階は双有理的ではなく、GLSMコミュニティにおける既存の常識に反する。
• これらの段階はクズネツォフのホモロジカル・プロジェクト型双対性によって関連されており、本稿ではGLSMにおいてこれが普遍的に成り立つと予想している。