[論文レビュー] Graph Sparsification via Refinement Sampling

Ashish Goel, Michael Kapralov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Graph Theory and Algorithms参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、効率的な1パス半ストリーミングアルゴリズムを可能にするグラフスパース化のための新規手法であるリファインメントサンプリングを導入する。本手法は、$\tilde{O}(m)$ 時間およびノードあたり $O(\log^2 n)$ の空間で、$O(n\log^3 n/{\epsilon}^2)$ 本の辺を有する ${\epsilon}$-スパースファイアを達成し、大規模グラフにおける時間および空間効率の面で先行研究を上回る。

ABSTRACT

A graph G'(V,E') is an \eps-sparsification of G for some \eps>0, if every (weighted) cut in G' is within (1\pm \eps) of the corresponding cut in G. A celebrated result of Benczur and Karger shows that for every undirected graph G, an \eps-sparsification with O(n\log n/\e^2) edges can be constructed in O(m\log^2n) time. Applications to modern massive data sets often constrain algorithms to use computation models that restrict random access to the input. The semi-streaming model, in which the algorithm is constrained to use ilde O(n) space, has been shown to be a good abstraction for analyzing graph algorithms in applications to large data sets. Recently, a semi-streaming algorithm for graph sparsification was presented by Anh and Guha; the total running time of their implementation is Ω(mn), too large for applications where both space and time are important. In this paper, we introduce a new technique for graph sparsification, namely refinement sampling, that gives an ilde{O}(m) time semi-streaming algorithm for graph sparsification. Specifically, we show that refinement sampling can be used to design a one-pass streaming algorithm for sparsification that takes O(\log\log n) time per edge, uses O(\log^2 n) space per node, and outputs an \eps-sparsifier with O(n\log^3 n/\eps^2) edges. At a slightly increased space and time complexity, we can reduce the sparsifier size to O(n \log n/\e^2) edges matching the Benczur-Karger result, while improving upon the Benczur-Karger runtime for m=ω(n\log^3 n). Finally, we show that an \eps-sparsifier with O(n \log n/\eps^2) edges can be constructed in two passes over the data and O(m) time whenever m =Ω(n^{1+δ}) for some constant δ>0. As a by-product of our approach, we also obtain an O(m\log\log n+n \log n) time streaming algorithm to compute a sparse k-connectivity certificate of a graph.

研究の動機と目的

• 時間および空間の両方が制限される大規模データ環境における、既存のグラフスパース化アルゴリズムの非効率性を是正すること。
• 時間および空間複雑度を最小限に抑える一方で、カット近似の品質を維持するストリーミングアルゴリズムを開発すること。
• 1パス半ストリーミングアルゴリズムを設計し、近似的に最適な辺数を有する高品質な ${\epsilon}$-スパースファイアを構築すること。
• 進化するソーシャルネットワークなどのオンライン環境におけるスパースファイアの動的維持を可能にすること。
• 特に $m = \omega(n\log^3 n)$ の辺を有するグラフに対して、先行研究に比べて実行時間および空間複雑度の向上を達成すること。

提案手法

• 接続成分を反復的に精錬するため、幾何級数的に減少するエッジサンプリングレートを用い、分離閾値に基づくエッジ強度を推定する。
• Kargerのサンプリング定理を活用し、部分グラフのカット値が元のグラフのカット値を $1\pm\epsilon$ の要因内で近似することを保証する。
• サンプリングされたパーティションに対して二分探索を適用し、$n^\delta$ 要因の精度で、エッジあたり $O(\log(1/\delta))$ 時間でエッジ強度を推定する。
• エッジを、$s''_e$ が推定強度であるとき、確率 $\min\left\{\frac{\rho n^\delta}{{\epsilon}^2 s''_e}, 1\right\}$ に比例してサンプリングする。
• 2パスアプローチを採用：第1パスではエッジをサンプリングし、接続性データ構造を構築する。第2パスではエッジ強度を推定し、それに従ってエッジをサンプリングする。
• 最終的に得られたサンプリンググラフに対してBenczúr-Kargerアルゴリズムを適用し、スパースファイアのサイズを $O(n\log n/{\epsilon}^2)$ 本の辺に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パス半ストリーミングアルゴリズムは、近似的に線形時間複雑度を達成しつつ、$O(n\log n/{\epsilon}^2)$ 本の辺を有する ${\epsilon}$-スパースファイアを構築できるか？
• RQ2 完全なグラフへのランダムアクセスができないストリーミングモデルにおいて、エッジ強度を効率的に推定する方法は何か？
• RQ3 動的またはインクリメンタルなグラフ処理において、空間、時間、スパースファイアの品質のトレードオフは何か？
• RQ4 リファインメントサンプリングは、時間および空間効率の面で、既存の半ストリーミングアルゴリズムを上回れるか？
• RQ5 どのような条件下で、2パスアルゴリズムがグラフスパース化において線形時間性能を達成できるか？

主な発見

• 1パス半ストリーミングアルゴリズムは、$\tilde{O}(m)$ 時間およびノードあたり $O(\log^2 n)$ の空間で、$O(n\log^3 n/{\epsilon}^2)$ 本の辺を有する ${\epsilon}$-スパースファイアを構築する。
• エッジあたりのアムortイズド時間は $O(\log\log n)$ であり、これにより先行手法の $\Omega(n)$ 時間よりも顕著に改善される。
• $m = \Omega(n^{1+\delta})$ の場合、2パスアルゴリズムは $O(m\log(1/\delta)) + \tilde{O}(n^{1+\delta})$ 時間で実行され、$\delta$ が定数のとき線形時間となる。
• リファインメントサンプリングの出力に対してBenczúr-Kargerサンプリングを適用することで、最終的なスパースファイアサイズは $O(n\log n/{\epsilon}^2)$ 本の辺に削減される。
• 濃度バインディングおよびKargerのサンプリング定理により、高確率で $1\pm\epsilon$ のカット近似を維持する。
• $O(m\log\log n + n\log n)$ 時間のストリーミングアルゴリズムにより、スパースな $k$-連結性証明書が副次的に計算可能である。