[論文レビュー] Probabilistic Spectral Sparsification In Sublinear Time

Yin Tat Lee|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意のカット $(S,S^c)$ に対して $1\pm\varepsilon$ の乗法的誤差と $\delta|S|$ の加法的誤差を保つ、スパースなグラフを構築するサブリニア時間の確率的 $(\varepsilon,\delta)$-スペクトルスパース化手法を導入する。この手法は $O(n\log n/\varepsilon^2)$ 様の辺を $\tilde{O}(n/\varepsilon^2\delta)$ 時間で達成でき、$\varepsilon n$ の加法的誤差を許容する最小 $s$-$t$ カット問題やスパースネスカット、バランスドセパレータ問題に対する、これまでで最も高速なサブリニア時間アルゴリズムを実現する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a variant of spectral sparsification, called probabilistic $(\varepsilon,δ)$-spectral sparsification. Roughly speaking, it preserves the cut value of any cut $(S,S^{c})$ with an $1\pm\varepsilon$ multiplicative error and a $δ\left|S ight|$ additive error. We show how to produce a probabilistic $(\varepsilon,δ)$-spectral sparsifier with $O(n\log n/\varepsilon^{2})$ edges in time $ ilde{O}(n/\varepsilon^{2}δ)$ time for unweighted undirected graph. This gives fastest known sub-linear time algorithms for different cut problems on unweighted undirected graph such as - An $ ilde{O}(n/OPT+n^{3/2+t})$ time $O(\sqrt{\log n/t})$-approximation algorithm for the sparsest cut problem and the balanced separator problem. - A $n^{1+o(1)}/\varepsilon^{4}$ time approximation minimum s-t cut algorithm with an $\varepsilon n$ additive error.

研究の動機と目的

• 密度の高いグラフ上でカットに基づく最適化問題をサブリニア時間で解く挑戦に応えること。これはサイズの大きさのため、明示的な処理が非現実的である。
• カット値に乗法的および加法的誤差の保証を両方持つ、新しい形のスペクトルスパース化、すなわち確率的 $(\varepsilon,\delta)$-スペクトルスパース化を考案すること。
• 従来の方法が $\tilde{O}(m)$ 時間を要するのに対し、このようなスパースファイアをサブリニア時間で構築するアルゴリズムを設計すること。
• スパースネスカットや最小 $s$-$t$ カットといった基本的なグラフ問題のサブリニア時間近似において、ほぼ最適なクエリ複雑性と実行時間を達成すること。

提案手法

• すべての実ベクトル $u$ に対して二次形式の下限と上限を満たす確率的スペクトルスパースファイアを提案し、カット値の保持に $1\pm\varepsilon$ の乗法的誤差と $\delta\|u\|_2^2$ の加法的誤差を保証する。
• 行列の集中を避けるために、グラフ構造と集中限界を用いることで、$\tilde{O}(m)$ 時間を回避し、サブリニア時間での構築を可能にする。
• 有効抵抗の明示的計算を避けるために、グラフ構造に基づくエッジ確率に依存するサンプリング戦略を採用する。
• サブリニア数のエッジのみをプローブするランダム化クエリモデルを適用し、二項分布の集中を用いてカット推定の誤差を制限する。
• 一般グラフクエリモデルを活用し、入力グラフに対して次数、隣接、エッジクエリを実行できる。
• ヤオの原理と悪意あるグラフ構成を用いてクエリ複雑性の下界を証明し、アルゴリズムのほぼ最適性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルスパース化は、密度の高い重みなしグラフに対して、サブリニア時間の保証を提供するために適応可能か？
• RQ2 サブリニア時間で、スパースなランダムグラフを用いて、カット保持において $1\pm\varepsilon$ の乗法的誤差と $\delta|S|$ の加法的誤差を両方達成することは可能か？
• RQ3 有効抵抗の計算なしに、または $\tilde{O}(m)$ 時間を伴わず、このようなスパースファイアの構築が可能か？
• RQ4 一般グラフクエリモデルにおいて、確率的 $(\varepsilon,\delta)$-スペクトルスパースファイアの構築に最適なクエリ複雑性は何か？
• RQ5 この手法は、既存のサブリニア時間アルゴリズムと比較して、カット問題の実行時間と近似品質の点でどのように異なるか？

主な発見

• アルゴリズムは $O(n\log n/\varepsilon^2)$ 様の辺を $\tilde{O}(n/\varepsilon^2\delta)$ 時間で構築する確率的 $(\varepsilon,\delta)$-スペクトルスパースファイアを構築し、従来の手法に比べて顕著な改善を達成する。
• スパースネスカットおよびバランスドセパレータ問題に対して、$\tilde{O}(n/OPT + n^{3/2+t})$ 時間で $O(\sqrt{\log n/t})$-近似を達成する。
• 最小 $s$-$t$ カット問題に対して、$n^{1+o(1)}/\varepsilon^4$-時間の近似アルゴリズムを提供し、$\varepsilon n$ の加法的誤差を許容する。
• $\Omega(n/\varepsilon^2 + n/\delta)$ のクエリ複雑性がタイトであることが証明され、アルゴリズムのほぼ最適性が示された。
• 行列の集中限界に依存するのを避け、$\delta \sum d(x)u^2(x)$ の誤差を生じるのではなく、よりタイトな $\delta\|u\|_2^2$ の限界を達成する。
• カットスパースファイアおよびスパースネスカット問題の両方の下界が確立され、一般グラフクエリモデルにおけるこの手法の効率のほぼ最適性が確認された。