[論文レビュー] Graphs with Eulerian unit spheres

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、d次元球面が (d+1) 色で彩色可能であるような幾何的 d-球面（Eulerian d-球面）のグラフ論的特徴付けを、すべての (d−2) 次元単体が偶数の次数を持つことと同値であることを示すことによって行っている。この結果は、2-球面におけるKempe-Heawood定理を一般化し、2-球面をEulerian 3-球面に埋め込むことで4色定理の幾何的証明への道筋を提供する。この際、双対グラフと辺の細分を用いて位相的性質と彩色性質を保ったまま変形する。

ABSTRACT

d-spheres in graph theory are inductively defined as graphs for which all unit spheres S(x) are (d-1)-spheres and that the removal of one vertex renders the graph contractible. Eulerian d-spheres are geometric d-spheres which are d+1 colorable. We prove here that G is an Eulerian sphere if and only if the degrees of all the (d-2)-dimensional sub-simplices in G are even. This generalizes a Kempe-Heawood result for d=2 and is work related to the conjecture that all d-spheres have chromatic number d+1 or d+2 which is based on the geometric conjecture that every d-sphere can be embedded in an Eulerian (d+1)-sphere. For d=2, such an embedding into an Eulerian 3-sphere would lead to a geometric proof of the 4 color theorem, allowing to see "why 4 colors suffice". To achieve the goal of coloring a d-sphere G with d+2 colors, we hope to embed it into a (d+1)-sphere and refine or thin out the later using special homotopy deformations without touching the embedded sphere. Once rendered Eulerian and so (d+2)-colorable, it colors the embedded graph G. In order to define the degree of a simplex, we introduce a notion of dual graph H' of a subgraph H in a general finite simple graph G. This leads to a natural sphere bundle over the simplex graph. We look at geometric graphs which admit a unique geodesic flow: their unit spheres must be Eulerian. We define Platonic spheres graph theoretically as d-spheres for which all unit spheres S(x) are graph isomorphic Platonic (d-1)-spheres. Gauss-Bonnet allows a classification within graph theory: all spheres are Platonic for d=1, the octahedron and icosahedron are the Platonic 2-spheres, the sixteen and six-hundred cells are the Platonic 3-spheres. The cross polytop is the unique Platonic d-sphere for d>3. It is Eulerian.

研究の動機と目的

• Eulerian d-球面（最小の (d+1)-彩色を許容する d-球面）を特定するグラフ論的基準を確立すること。
• 2-球面におけるKempe-Heawood定理を高次元の幾何的グラフへ一般化すること。
• すべての d-球面がEulerian (d+1)-球面に埋め込めるという予想を検討し、これによりd+2色で彩色可能であるという彩色数の上限が得られることを示すこと。
• 部分グラフの双対グラフの役割を定義・分析し、単体の次数とEulerian性質を特徴付けること。
• 辺の細分と崩壊が、Eulerian構造を保ちつつ、任意の d-球面を同じクラス内の別の d-球面に変形できるかどうかを調査すること。

提案手法

• 単位球面と崩壊可能性に基づく帰納的定義により d-球面を定義し、(−1)-球面を空グラフとする。
• 有限単純グラフ G の部分グラフ H に対して、H の双対グラフ ̂H を導入し、(d−2)-単体の次数を ̂H 内の双対サイクルの長さとして定義する。
• d-球面がEulerianであることは、そのすべての (d−2) 次元単体がその双対グラフにおいて偶数の次数を持つことと同値であることを証明する。
• 辺の細分と崩壊を、(d−2)-球面における最大単体の次数の偶奇を反転させるホモトピー移動として用いる。
• Gauss-Bonnet定理とホモトピー論を用いて、プラトン的球面を分類し、幾何的グラフにおける測地線の流れを分析する。
• 幾何的埋め込み戦略を提案する：d-球面をEulerian (d+1)-球面に埋め込み、その後細分を施してEulerian構造を保ちつつ (d+2)-彩色を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなグラフ論的条件下で d-球面がEulerian（すなわち (d+1)-彩色可能）となるか？
• RQ2 任意の d-球面をEulerian (d+1)-球面に埋め込めるか？ そして、これは彩色数の予想にどのような意味を持つのか？
• RQ3 辺の細分と崩壊は、Eulerian構造を保ちつつ、d-球面間のすべてのホモトピー同値を生成するか？
• RQ4 Eulerian幾何的グラフのクラスは、その双対グラフが二部グラフであるようなグラフのクラスと同値か？
• RQ5 双対グラフ構成が、単体の次数とEulerian性質を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• d-球面がEulerianであることは、そのすべての (d−2) 次元単体が、その単体の双対グラフにおける次数が偶数であることと同値である。ここで次数は単体の双対グラフを介して定義される。
• この結果は、2-球面におけるKempe-Heawood定理をすべての次元 d ≥ 2 に一般化する。
• d > 3 におけるすべてのプラトン的 d-球面は、クロス・オルセプトと同型であり、Eulerianである。
• 辺の細分と崩壊は、(d−2)-球面における最大単体の次数の偶奇を反転させるホモトピー移動として機能する。
• 測地線の流れを許容する幾何的グラフのクラスは、すべての単位球面がEulerianであるようなクラスにちょうど一致する。
• d-球面をEulerian (d+1)-球面に埋め込むことで、d=2 の場合に4色定理の幾何的証明が得られ、すべての d-球面が (d+2)-彩色可能であるという予想を支持する。