[論文レビュー] Gromov-Witten invariants and pseudo symplectic capacities

Guangcun Lu|ArXiv.org|Mar 28, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ホモロジー類を組み込むことでシンプレクティック容量を一般化した擬似シンプレクティック容量を導入し、グロモフ・ウィッテン不変量を用いて推定可能なホーファー・ツェンダー型の擬似容量を構成する。非圧縮定理を確立し、シンプレクティック・ユニルール多様体上の余接 bundle に対してワインバーグ予想を証明し、グラスマン多様体および積多様体の容量を計算することで、グロモフ・ウィッテン不変量を通じてシンプレクティック位相幾何学と数え上げ幾何学を結びつける。

ABSTRACT

We introduce the concept of pseudo symplectic capacities which is a mild generalization of that of symplectic capacities. As a generalization of the Hofer-Zehnder capacity we construct a Hofer-Zehnder type pseudo symplectic capacity and estimate it in terms of Gromov-Witten invariants. The (pseudo) symplectic capacities of Grassmannians and some product symplectic manifolds are computed. As applications we first derive some general nonsqueezing theorems that generalize and unite many previous versions, then prove the Weinstein conjecture for cotangent bundles over a large class of symplectic uniruled manifolds (including the uniruled manifolds in algebraic geometry) and also show that any closed symplectic submanifold of codimension two in any symplectic manifold has a small neighborhood whose Hofer-Zehnder capacity is less than a given positive number. Finally, we give two results on symplectic packings in Grassmannians and on Seshadri constants.

研究の動機と目的

• ホモロジー類を組み込むことでシンプレクティック容量を一般化し、擬似シンプレクティック容量の概念を導くこと。
• グロモフ・ウィッテン不変量を用いて推定可能なホーファー・ツェンダー型の擬似容量を構成すること。
• グラスマン多様体および積シンプレクティック多様体の擬似容量を計算すること。
• 従来のバージョンを統合する一般化された非圧縮定理を確立すること。
• シンプレクティック・ユニルール多様体上の余接 bundle に対してワインバーグ予想を証明し、codimension-two の部分多様体の近傍における小領域の性質を分析すること。

提案手法

• ホモロジー類に関して擬似単調性、適合性、非自明性の公理を満たす $G_k$-擬似シンプレクティック容量を定義する。
• $c^{(k)}(M,\omega;\alpha_1,\dots,\alpha_k)$ を用いてホーファー・ツェンダー型の擬似容量を構成し、$A$ を表す $J$-擬補間球面の最小作用と関連付ける。
• グロモフ・ウィッテン不変量 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ を用いて擬似容量を推定する。この不変量は、指定されたホモロジー類を通る $J$-擬補間球面の数を数える。
• 横断性と評価写像 $\mathrm{EV}^{J,A}_{0,3}$ を用いて、交点数としてグロモフ・ウィッテン不変量を定義・計算する。
• 積 $M = \prod M_k$, $A = \sum A_k$ に対して $\Psi^{M}_{A,0,3} = \prod_{k=1}^m \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$ を用いて、グロモフ・ウィッテン不変量の乗法性を証明し、積上の容量の挙動を確立する。
• 理論を応用してグラスマン多様体および積多様体の容量を計算し、シンプレクティックパッキングやセーシャドリ定数への応用を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてシンプレクティック容量をホモロジー類を組み込む形に一般化できるか。また、その一般化が満たすべき公理は何か。
• RQ2 ホモロジー的データを有する多様体に対してホーファー・ツェンダー型容量を定義できるか。また、グロモフ・ウィッテン不変量を用いてどのように推定できるか。
• RQ3 グラスマン多様体および積シンプレクティック多様体の擬似シンプレクティック容量は何か。
• RQ4 一般化された非圧縮定理は、従来の結果を統合または拡張するものか。
• RQ5 シンプレクティック・ユニルール多様体上の余接 bundle に対してワインバーグ予想は成り立つか。また、これは部分多様体の近傍における周期的軌道にどのような含意を持つのか。

主な発見

• $(\mathbb{C}P^n, \sigma_n)$ の擬似シンプレクティック容量は $\pi$ に等しく、標準的なホーファー・ツェンダー容量と一致する。
• グロモフ・ウィッテン不変量 $\Psi^{M}_{A,0,3}(pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ は積に関して乗法的である：$\Psi^{\prod M_k}_{A,0,3} = \prod \Psi^{M_k}_{A_k,0,3}$（$A_k$ が分解不能のとき）。
• 任意のシンプレクティック多様体における codimension-two の閉じたシンプレクティック部分多様体のホーファー・ツェンダー容量は、その近傍を小さくすることで任意に小さくできる。
• ワインバーグ予想は、シンプレクティック・ユニルール多様体上の余接 bundle に対して成り立つ。これは代数幾何学の対象に対しても成立する。
• 本稿では、擬似容量の枠組みを通じて、従来のバージョンを統合・拡張する一般化された非圧縮定理を証明する。
• 構築された擬似容量とグロモフ・ウィッテン不変量を用いて、グラスマン多様体におけるセーシャドリ定数およびシンプレクティックパッキングが有界であることが示される。