[論文レビュー] Gromov-Witten theory of K3 x P1 and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、K3表面 $S$ に対して、曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における $S \times \mathbb{P}^1$ の相対的 Gromov-Witten 理論を解き、生成関数が準ジャコビ形式であることを示し、$S$ のヒルベルトスキームにおける genus 0 不変量と一致することを示している。Pandharipande と著者の間の予想の特殊な場合を証明し、$S \times E$ の Gromov-Witten 不変量およびモジュライ空間上の線形ホッジ積分への応用がある。

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $\beta$. We completely solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of $d$ points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

研究の動機と目的

• K3表面 $S$ とその原始的曲線類 $\beta$ に対して、曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における $S \times \mathbb{P}^1$ の相対的 Gromov-Witten 不変量を完全に特定すること。
• これらの不変量の生成関数が準ジャコビ形式であることを確立すること。
• Pandharipande と著者の間の予想の特殊な場合、すなわち $S \times \mathbb{P}^1$ の相対不変量と $S$ のヒルベルトスキームにおける genus 0 不変量との関係を証明すること。
• $S \times E$ の曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における Gromov-Witten 不変量を計算し、それらがアイグーサ尖点形式の逆数の係数であることを示すこと。
• 安定写像のモジュライ空間上の K3 表面への線形ホッジ積分およびアーベル3次元多様体の曲線類 $(1,1,d)$ における Gromov-Witten 不変量を計算すること。

提案手法

• Cィリベルトとクヌーセンによって確立された、K3 表面上のハイパーオービック曲線の genus 界を活用し、安定写像の幾何を制約すること。
• 生成関数の形式的性質を用いて、重要な系列が最初の数個の係数によって決定されることを示すこと。
• 準ジャコビ形式の理論を適用し、Gromov-Witten 生成関数の構造を特徴付けること。
• 幾何的および表現論的議論を用いて、$S \times \mathbb{P}^1$ 上の相対不変量と $S$ のヒルベルトスキーム上の genus 0 不変量との間の対応関係を確立すること。
• 生成関数のモジュラー性質を活用し、$S \times E$ の不変量がアイグーサ尖点形式の逆数の係数であることを導出すること。
• 局所化および仮想クラスの技術を用いて、線形ホッジ積分およびアーベル3次元多様体上の不変量を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における $S \times \mathbb{P}^1$ の相対的 Gromov-Witten 不変量は、準ジャコビ形式によって記述されるか？
• RQ2 これらの不変量の生成関数は、$S$ の $d$ 個の点のヒルベルトスキームにおける genus 0 Gromov-Witten 不変量と一致するか？
• RQ3 $S \times E$ の曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における Gromov-Witten 不変量は、アイグーサ尖点形式の逆数の係数か？
• RQ4 K3 表面への安定写像のモジュライ空間上の線形ホッジ積分の構造は何か？
• RQ5 タイプ $(1,1,d)$ の曲線類におけるアーベル3次元多様体の Gromov-Witten 不変量は何か？

主な発見

• 曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における $S \times \mathbb{P}^1$ の相対的 Gromov-Witten 不変量の生成関数は、すべて準ジャコビ形式である。
• これらの生成関数は、$S$ の $d$ 個の点のヒルベルトスキームにおける対応する genus 0 Gromov-Witten 不変量と等しく、Pandharipande と著者の間の予想の特殊な場合が確認された。
• $S \times E$ の曲線類 $(\beta,1)$ および $(\beta,2)$ における Gromov-Witten 不変量は、アイグーサ尖点形式の逆数の係数である。
• 生成関数の形式的性質を用いて、K3 表面への安定写像のモジュライ空間上の線形ホッジ積分が明示的に計算された。
• 同じ枠組みを用いて、アーベル3次元多様体の曲線類 $(1,1,d)$ における Gromov-Witten 不変量が計算され、この手法の適用範囲が拡張された。
• ハイパーオービック曲線の genus 界と形式的性質のおかげで、主要な生成関数は最初の数個の係数によって完全に決定される。