[論文レビュー] Grothendieck-Riemann-Roch for derived schemes

Parker E. Lowrey, Timo Schürg|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかな基底上の導来スキームのホモトピー圏において、双対的代数的K理論および双対的導来チャウ理論を定義することにより、導来スキームに対するホモロジカルおよびコホモロジカルなグロテンディーク・リーマン・ロッホの公式を確立する。K理論から導来チャウ理論へのチエーン写像が、仮想ギジン準同型とTodd類を結びつけることを証明し、これにより、準滑らか写像に対するGRR公式を導き、コンツェビッチの仮想的クラス公式を回復する。

ABSTRACT

We define bivariant algebraic K-theory and bivariant derived Chow on the homotopy category of derived schemes over a smooth base. The orientation on the latter corresponds to virtual Gysin homomorphisms. We then provide a morphism between these two bivariant theories and compare the two orientations. This comparison then yields a homological and cohomological Grothendieck-Riemann-Roch formula for virtual classes.

研究の動機と目的

• 滑らかな基底上の準射影的基底スキームをもつ導来スキームに、双対的K理論および双対的操作的チャウ理論を拡張すること。
• 準滑らか写像に対してこれらの理論に方向性を定義し、それらを仮想的滑らか構造として解釈すること。
• 双対的K理論と双対的導来チャウ理論の間の準同型を構成し、それらの方向性を比較すること。
• 導来代数的幾何における仮想的クラスのグロテンディーク・リーマン・ロッホの公式を導出すること。
• 導来枠組みが、特に完全な障害理論を通じて、交線論における仮想的現象を自然に説明することを示すこと。

提案手法

• 相対的完備複体のグロテンディーク群を用いて、導来スキームにおける双対的代数的K理論を定義する。
• 同型 $ d\mathrm{CH}(X) \cong \mathrm{CH}(\overline{X}) $ を用いて、基底スキーム上のチャウ群の操作的拡張として、双対的導来チャウ理論を定義する。
• 双対的構造と整合するチエーン写像 $ \tau: K \to d\mathrm{CH}_{\mathbb{Q}} $ を構成する。
• 方向性を割り当てる：K理論における $[\mathcal{O}_X]$ およびチャウ理論における仮想ギジン準同型 $[f^{!}]_{\text{vir}}$。
• $ \tau([\mathcal{O}_X]) = \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/Y}) \cap [f^{!}]_{\text{vir}} $ を証明し、両方向性を結びつける。
• 法線コーンへの変形と $ \mathbb{A}^1 $-不変性を用いて、K理論における $ \mathcal{O}_X $-テンソル積が仮想ギジンに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対的理論を仮想的交線論的現象を捉えるために導来スキームにどのように拡張できるか。
• RQ2 導来チャウ理論における仮想ギジン準同型とK理論における構造層の間の正確な関係は何か。
• RQ3 K理論と導来チャウ理論の間のチエーン写像が、両方向性を結びつけることができるか。
• RQ4 どの程度まで導来スキームが外部データなしに自然に仮想的クラスを符号化するか。
• RQ5 導来枠組みが、古典的GRR公式とコンツェビッチの仮想的クラス公式をどのように回復するか。

主な発見

• 写像 $ \tau: K \to d\mathrm{CH}_{\mathbb{Q}} $ は、双対的理論の間の適切に定義された準同型である。
• 双対的K理論の方向性 $[\mathcal{O}_X]$ は、$ \tau $ によって $ \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/Y}) \cap [f^{!}]_{\text{vir}} $、すなわち導来チャウ理論における仮想ギジン準同型にマッピングされる。
• 固有な準滑らか写像 $ f: X \to Y $ に対する主要なGRR公式は、$ ch(f_*(\mathcal{P})) \cap \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{Y/k}) \cap [Y]_{\text{vir}} = f_*(ch(\mathcal{P}) \cap \mathrm{Td}(\mathbb{T}_{X/k}) \cap [X]_{\text{vir}}) $ である。
• $ Y $ が滑らかであれば、公式は基底スキーム上の計算に還元され、$ [\mathcal{P}] = \sum (-1)^i [\mathcal{H}^i(\mathcal{P})] $ と表される。
• 導来枠組みは、障害データを符号化する構造層を通じて、仮想的現象を古典的手法の自然な拡張として説明する。
• 結果は、特徴が0の体上で滑らかな埋め込みを持つ場合、[CFK09, Theorem 4.2.3] を特別な場合として回復する。