[論文レビュー] Ground states of time-harmonic semilinear Maxwell equations in R^3 with vanishing permittivity

Jarosław Mederski|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Advanced Mathematical Physics ProblemsMathematics参考文献 21被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、$\r^3$ における誘電率が消える場合の時間調和非線形マクスウェル方程式に対する基底状態解の存在を、強く不定な汎関数に対する変分法を用いて確立する。主な結果は、非線形性 $F$ が適切な成長条件を満たす場合、ポテンシャル $V(x) = -\rho \tau^2 \varepsilon(x)$ の $L^{3/2}$-ノルムが最良ソボレフ定数未満であれば、基底状態解が存在することを示している。

ABSTRACT

We investigate the existence of solutions $E:\mathbb{R}^3 o\mathbb{R}^3$ of the time-harmonic semilinear Maxwell equation $$ abla imes( abla imes E) + V(x) E = \partial_E F(x,E) \quad ext{in}\mathbb{R}^3,$$ where $V:\mathbb{R}^3 o\mathbb{R}$, $V(x)\leq 0$ a.e. on $\mathbb{R}^3$, $ abla imes$ denotes the curl operator in $\mathbb{R}^3$ and $F:\mathbb{R}^3 imes\mathbb{R}^3 o\mathbb{R}$ is a nonlinear function in $E$. In particular we find a ground state solution provided that suitable growth conditions on $F$ are imposed and $L^{3/2}$-norm of $V$ is less than the best Sobolev constant. In applications $F$ is responsible for the nonlinear polarization and $V(x)=-μω^2\varepsilon(x)$ where $μ>0$ is the magnetic permeability, $ω$ is the frequency of the time-harmonic electric field $\Re\{E(x)e^{iωt}\}$ and $\varepsilon$ is the linear part of the permittivity in an inhomogeneous medium.

研究の動機と目的

• 時間調和非線形マクスウェル方程式が $\r^3$ において誘電率が消える場合の基底状態解の存在を確立すること。
• 非線形性が支配する非線形的光学的媒質（特にケラ効果に類似した材料）における電磁波の挙動を分析すること。
• ポテンシャル $V(x) \leq 0$ が符号を変えることによる強い不定な変分構造の課題に対処すること。
• 基底状態解の存在が、$V$ の $L^{3/2}$-ノルムが最良ソボレフ定数未満である場合に保証されることを証明すること。
• このような解の物理的意味が、特にケラ効果に類似した非線形光学媒質においてどのように関連するかを調査すること。

提案手法

• 方程式を $\r^3$ において $\nabla \times (\nabla \times E) + V(x)E = \partial_E F(x,E)$ として定式化し、$V(x) \leq 0$ とする。
• 方程式に関連する強く不定な汎関数に対して変分法を適用し、臨界点を特定するためにネハリ＝パンコフ多様体を用いる。
• 非線形性 $F$ に、$2 < p \leq q$ を満たす $f(x,E) = \Gamma(x)\min\{|E|^{p-2}, |E|^{q-2}\}E$ のような成長条件を課す。
• $\r^3$ におけるコンパクト性の欠如を克服するために、集中・compactness 論法とグローバルコンパクトネス解析を用いる。
• 解のエネルギーが有限でかつ非自明であることを示すために、ポホジャエフ型の恒等式とスケーリング論法を用いて解のためのポホジャエフ恒等式を導出する。
• 非線形性を扱い、汎関数が空間 $\mathcal{D}(\mathrm{curl}, p, q)$ 上で適切に定義されるように、適切な切り詰めと近似スキームを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘電率がゼロに近い $\r^3$ における時間調和非線形マクスウェル方程式に対して、基底状態解が存在する条件は何か？
• RQ2 ポテンシャル $V(x)$ の $L^{3/2}$-ノルムは、非自明な解の存在にどのように関係するか？
• RQ3 符号を変えるポテンシャルを伴うマクスウェル方程式から生じる強い不定な汎関数に対し、変分法を適用できるか？
• RQ4 非線形性 $F$ は、局在的で有限エネルギーを持つ解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $V = 0$ または $V$ が定数の場合、$F$ の成長条件が特定の条件下で非自明な古典的解が存在しないことを排除できるか？

主な発見

• 基底状態解が存在するための十分条件として、$V(x)$ の $L^{3/2}$-ノルムが最良ソボレフ定数未満であることが示された。
• 非線形性 $F$ が適切なサブクリティカル成長条件を満たす場合（特にケラ効果に対応する $p=4$ の場合を含む）、解の存在が保証される。
• $V=0$ または $V$ が定数負の値をとる場合、$q \leq 6$ または $p > 6$ であれば、ポホジャエフ恒等式から矛盾が導かれるため、非自明な古典的解は存在しない。
• 解 $E$ は空間 $\mathcal{D}(\mathrm{curl}, p, q)$ に属し、これは $L^{p,q} = L^p(\r^3, \r^3) + L^q(\r^3, \r^3)$ に埋め込まれており、有限な電磁エネルギーを保証する。
• エネルギー汎関数はポホジャエフ恒等式を満たす：$\int_{\r^3} |\nabla \times E|^2 dx = 3 \int_{\r^3} F(E) dx + \int_{\r^3} \langle f(E), E \rangle dx$。これは基底状態解の存在を示すために不可欠である。
• グローバルコンパクトネス論法とネハリ＝パンコフ多様体技法を用いることで、$\r^3$ におけるコンパクト性の欠如を効果的に扱い、パライス＝スモールの列の収束を保証した。