[論文レビュー] Group-Harmonic and Group-Closeness Maximization -- Approximation and Engineering

Eugenio Angriman, Ruben Becker+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ネットワークにおける中心的ノード群の特定を目的として、グループ調和性およびグループクロージネス最大化を研究し、近似アルゴリズムと効率的な実装を提案する。理論的限界を確立し、NP困難性と近似限界を示した。実験的に、局所探索ヒューリスティクスが、特に大規模または複雑なネットワークにおいて、近似的に最適な解を達成することを示した。

ABSTRACT

Centrality measures characterize important nodes in networks. Efficiently computing such nodes has received a lot of attention. When considering the generalization of computing central groups of nodes, challenging optimization problems occur. In this work, we study two such problems, group-harmonic maximization and group-closeness maximization both from a theoretical and from an algorithm engineering perspective. On the theoretical side, we obtain the following results. For group-harmonic maximization, unless $P=NP$, there is no polynomial-time algorithm that achieves an approximation factor better than $1-1/e$ (directed) and $1-1/(4e)$ (undirected), even for unweighted graphs. On the positive side, we show that a greedy algorithm achieves an approximation factor of $\\lambda(1-2/e)$ (directed) and $\\lambda(1-1/e)/2$ (undirected), where $\\lambda$ is the ratio of minimal and maximal edge weights. For group-closeness maximization, the undirected case is $NP$-hard to be approximated to within a factor better than $1-1/(e+1)$ and a constant approximation factor is achieved by a local-search algorithm. For the directed case, however, we show that, for any $\\epsilon<1/2$, the problem is $NP$-hard to be approximated within a factor of $4|V|^{-\\epsilon}$. From the algorithm engineering perspective, we provide efficient implementations of the above greedy and local search algorithms. In our experimental study we show that, on small instances where an optimum solution can be computed in reasonable time, the quality of both the greedy and the local search algorithms come very close to the optimum. On larger instances, our local search algorithms yield results with superior quality compared to existing greedy and local search solutions, at the cost of additional running time. We thus advocate local search for scenarios where solution quality is of highest concern.

研究の動機と目的

• グループ調和性およびグループクロージネス中心性を最大化する最適なkノード群を特定する理論的および実用的課題に対処すること。
• 特に、先行する近似保証が欠落していた有向グラフにおけるグループクロージネス最大化の近似可能性に関する理解のギャップを埋めること。
• 解決品質とスケーラビリティの両面で、既存のグリーディ法および局所探索法を上回る効率的なアルゴリズム実装を開発・評価すること。
• 両問題における理論的近似限界、すなわち硬さ結果と達成可能な近似係数を提供すること。
• 実世界および合成ネットワークにおいて、局所探索アルゴリズムが、有向グラフや高径路長グラフを含む困難なケースでも近似的に最適な解を達成することを実験的に検証すること。

提案手法

• グループ調和性最大化に関しては、グリーディアルゴリズムの分析を行い、有向グラフではλ(1−2/e)、無向グラフではλ(1−1/e)/2の近似係数を証明した。ここでλは最小エッジ重みと最大エッジ重みの比である。
• グループクロージネス最大化に関しては、無向グラフの場合、局所探索アルゴリズムにより定数因子近似が可能であることを証明した。一方、有向グラフの場合、任意のε < 1/2に対して|V|^{-ε}要因以内での近似はNP困難であることを示した。
• 著者らは、現在のグループからノードを交換することで、目的関数における限界的利益を基準に、解を段階的に改善する局所探索ヒューリスティクス（GS-LS-C）を実装した。
• ベースラインとして、グループ中心性における限界的利益が最大のノードを段階的に追加するグリーディアルゴリズム（Greedy-C）を用いた。
• グリーディ解から出発し、反復的な局所移動で改善を図るハイブリッド局所探索バージョン（Greedy-LS-C）を導入した。
• 局所探索アルゴリズムに並列化を適用し、グループ内のノード交換評価の並列性を活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グループ調和性最大化で達成可能な最良の近似比は何か？ そして、多項式時間アルゴリズムでその比を達成できるか？
• RQ2 無向グラフにおけるグループクロージネス最大化は定数因子近似可能か？ また、達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 有向グラフにおけるグループクロージネス最大化はどの程度困難か？ また、非自明な近似は達成可能か？
• RQ4 局所探索ヒューリスティクスは、特に大規模または複雑なネットワークにおいて、グループ中心性最大化の解決品質でグリーディ法を上回れるか？
• RQ5 局所探索の性能は並列環境でどのようにスケーリングするか？ また、多様なグラフタイプにわたり、高品質な解を維持するか？

主な発見

• 無向グループ調和性最大化問題の近似硬さは1−1/(4e)であり、グリーディアルゴリズムはλ(1−1/e)/2の近似係数を達成する。
• 有向グループ調和性最大化では、硬さが1−1/eであり、グリーディアルゴリズムはλ(1−2/e)の近似係数を達成する。これは、エッジ重みの変動と近似品質のトレードオフを示している。
• 無向グラフにおけるグループクロージネス最大化は、局所探索により定数因子近似が可能であり、理論的下限は1−1/(e+1)である。
• 有向グラフでは、任意のε < 1/2に対して、グループクロージネス最大化は4|V|^{-ε}要因以内での近似がNP困難である。これは強い非近似可能性を示している。
• 最適解が計算可能な小規模なインスタンスでは、Greedy-LS-CとGS-LS-Cはそれぞれ最適解の98.66%および98.50%の解を達成した。
• 大規模なインスタンスでは、Greedy-LS-CとGS-LS-CはGreedy-CおよびGSを常に上回る解決品質を示し、小規模なグループサイズではGreedy-LS-CがGS-LS-Cより高速であり、逆に大規模なグループでは逆の傾向を示した。