[論文レビュー] Group-valued momentum maps for actions of automorphism groups

Tobias Diez, Tudor S. Raţiu|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 52被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限次元シンプレクティック幾何における群値運動量写像の新しい枠組みを導入し、古典的運動量写像理論を、シンプレクティックファイバー bundle の切断の空間への自己同型群作用へと拡張する。運動量写像は各切断に対して接続を持つ主円周 bundle を割り当てる。これにより、古典的運動量写像理論における障害が解消され、流体動力学、ゲージ理論、タイヒミュラー理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

The space of smooth sections of a symplectic fiber bundle carries a natural symplectic structure. We provide a general framework to determine the momentum map for the action of the group of bundle automorphism on this space. Since, in general, this action does not admit a classical momentum map, we introduce the more general class of group-valued momentum maps which is inspired by the Poisson Lie setting. In this approach, the group-valued momentum map assigns to every section of the symplectic fiber bundle a principal circle-bundle with connection. The power of this general framework is illustrated in many examples: we construct generalized Clebsch variables for fluids with integral helicity; the anti-canonical bundle turns out to be the momentum map for the action of the group of symplectomorphisms on the space of compatible complex structures; the Teichmüller moduli space is realized as a symplectic orbit reduced space associated to a coadjoint orbit of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ and spaces related to the other coadjoint orbits are identified and studied. Moreover, we show that the momentum map for the group of bundle automorphisms on the space of connections over a Riemann surface encodes, besides the curvature, also topological information of the bundle.

研究の動機と目的

• 標準的運動量写像が位相的障害により失敗する無限次元シンプレクティック幾何において、古典的運動量写像理論を拡張すること。
• 構造群作用を伴うシンプレクティックファイバー bundle の文脈における運動量写像の一般枠組みを構築すること。
• 微分同相群およびシンプレクティズム群の切断空間への作用に対して、古典的運動量写像が存在しない問題を解決すること。
• ゲージ理論およびケーラー幾何における既存の運動量写像構成を、同一の形式的枠組みで統一・一般化すること。
• 具体的な例を通じて、幾何力学、モジュライ空間理論、および数理物理学におけるこの枠組みの有効性を示すこと。

提案手法

• ポisson-リー構造をインスピレーションとして、群値運動量写像を古典的運動量写像の一般化として導入する。
• シンプレクティックファイバー bundle の切断空間への自己同型群作用に対する運動量写像を構成する。
• ファイバー積分と微分的特徴類（チエーガー＝シモンズ類）を用い、運動量写像に曲率および位相的データを符号化する。
• ゲージ群、微分同相群、シンプレクティズム群の切断上への作用に対して、運動量写像を導出する。
• 微分的特徴類のハット積を用いて、運動量写像構成における曲率と特徴類の関係を特定する。
• 随伴軌道の図式と還元技術を活用し、モジュライ空間（例えばタイヒミュラー空間）をシンプレクティック商として同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的運動量写像が失敗する状況において、シンプレクティックファイバー bundle の切断空間への自己同型群作用に対して運動量写像を定義できるか？
• RQ2 群値運動量写像は、無限次元シンプレクティック幾何において、幾何的および位相的データをどのように符号化できるか？
• RQ3 微分的特徴類および前量子 bundle は、シンプレクティックファイバー bundle の運動量写像構成において、どのような役割を果たすか？
• RQ4 切断上へのシンプレクティズム群作用の運動量写像は、ケーラー幾何およびタイヒミュラー理論における既知の構造とどのように関係するか？
• RQ5 運動量写像枠組みは、ゲージ理論、流体動力学、モジュライ空間幾何における構成を統一できるか？

主な発見

• バンドル自己同型群の切断空間への作用に対する運動量写像が、群値写像として構成され、各切断に対して接続を持つ主円周 bundle を割り当てる。
• シンプレクティズム群の切断上への作用に対する運動量写像は、特定のコhomオロジー的障害が消える場合にのみ存在し、そうでない場合には群値運動量写像に置き換えられる。
• 積分ホリシティを有する流体の一般化 Clebsch 変数が、運動量写像枠組みを用いて構成され、ホリシティが前量子線形 bundle と関連づけられる。
• 反標準 bundle が、適合複素構造の空間へのシンプレクティズム群作用の運動量写像として同定される。
• タイヒミュラーモジュライ空間が、SL(2, R) の随伴軌道のシンプレクティック還元として実現され、他の関連モジュライ空間も同様の枠組みで特定される。
• リーマン面上の接続への量子化群作用の運動量写像は、微分的特徴類を介して、バンドルの曲率および位相的不変量を符号化する。