[論文レビュー] Normal Form of Equivariant Maps and Singular Symplectic Reduction in Infinite Dimensions with Applications to Gauge Field Theory

Tobias Diez|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 106被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Fréchet多様体間の等長写像についての正規形定理を確立し、無限次元的な特異シンプレクティック還元理論を発展させ、古典的なMarle-Guillemin-Sternberg正規形を無限次元設定へと拡張する。スライス定理とKuranishi型構成を組み合わせることで、還元された位相空間が余接 bundle の設定において、洗練された層構造—「シーム」—を持つシンプレクティック多様体に分解されることを証明し、その枠組みをYang-Mills やYang-Mills-Higgsモデルを含むゲージ理論に応用する。

ABSTRACT

A local normal form theorem for smooth equivariant maps between Fréchet manifolds is established. Moreover, an elliptic version of this theorem is obtained. The proof these normal form results is inspired by the Lyapunov-Schmidt reduction for dynamical systems and by the Kuranishi method for moduli spaces, and uses a slice theorem for Fréchet manifolds as the main technical tool. As a consequence of this equivariant normal form theorem, the abstract moduli space obtained by factorizing a level set of the equivariant map with respect to the group action carries the structure of a Kuranishi space. Moreover, the theory of singular symplectic reduction is developed in the infinite-dimensional Fréchet setting. By refining the above construction, a normal form for momentum maps similar to the classical Marle-Guillemin-Sternberg normal form is established. Analogous to the reasoning in finite dimensions, this normal form result is then used to show that the reduced phase space decomposes into smooth manifolds each carrying a natural symplectic structure. Finally, the singular symplectic reduction scheme is further investigated in the situation where the original phase space is an infinite-dimensional cotangent bundle. The fibered structure of the cotangent bundle yields a refinement of the usual orbit-momentum type strata into so-called seams. Using a suitable normal form theorem, it is shown that these seams are manifolds. Taking the harmonic oscillator as an example, the influence of the seams on dynamics is illustrated. The general results stated above are applied to various gauge theory models. The moduli spaces of anti-self-dual connections in four dimensions and of Yang-Mills connections in two dimensions is studied. Moreover, the stratified structure of the reduced phase space of the Yang-Mills-Higgs theory is investigated in a Hamiltonian formulation.

研究の動機と目的

• 運動量写像の古典的正規形定理を無限次元的Fréchet多様体へと拡張すること。
• 特にゲージ理論的位相空間を対象とした、無限次元における特異シンプレクティック還元の厳密な枠組みを構築すること。
• 余接 bundle のファイバー構造に由来する「シーム」—標準的な軌道-運動量型の層構造を超えた精錬された層—を同定することで、還元された位相空間の層構造を精緻化すること。
• 特異な状況下でも、還元空間が滑らかなシンプレクティック多様体に分解されることを確立すること。
• 抽象的な枠組みを、反自己双対接続およびYang-Mills接続、Yang-Mills-Higgs理論を含む具体的なゲージ場理論に応用すること。

提案手法

• Lyapunov-Schmidt還元とKuranishi法を適応し、Fréchet多様体間の滑らかな等長写像の正規形を構成する。
• 局所的正規形を達成するための中心的技術的道具として、Fréchet多様体のスライス定理を用いる。
• レベル集合上の群作用による商をとることで抽象的モジュライ空間を構成し、それがKuranishi空間の構造を誘導することを示す。
• 運動量写像の正規形を、Marle-Guillemin-Sternberg定理の無限次元版に拡張する。
• 位相空間の余接 bundle 構造を分析し、「シーム」—標準的な軌道-運動量型の層構造を超えた精錬された層—を同定する。
• 精錬された正規形を用いて、シームが滑らかな部分多様体であることを証明し、還元空間上に層状のシンプレクティック構造を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fréchet多様体の無限次元的設定において、等長写像の正規形定理を確立できるか？
• RQ2 群作用を伴う無限次元的シンプレクティック多様体へと、特異シンプレクティック還元を一般化できるか？
• RQ3 余接 bundle のファイバー構造が、還元された位相空間の層構造の精錬において果たす役割は何か？
• RQ4 還元空間内の精錬された層—「シーム」—は、自然なシンプレクティック構造を備えた滑らかな多様体であるか？
• RQ5 正規形と還元に関する抽象的結果が、Yang-Mills やYang-Mills-Higgsといった具体的なゲージ場理論にどのように応用できるか？

主な発見

• 滑らかな等長写像の局所的正規形定理が、Fréchet多様体間で確立され、有限次元の結果が一般化された。
• 群作用によるレベル集合の商として得られる抽象的モジュライ空間が、Kuranishi空間の構造を有することが示された。
• Fréchet設定における運動量写像に対して、Marle-Guillemin-Sternberg定理の無限次元版が導出された。
• 精錬された還元スキームのもとで、特異な場合でさえも、還元された位相空間が滑らかなシンプレクティック多様体に分解されることを証明した。
• 余接 bundle の設定において、標準的な軌道-運動量型の層構造が「シーム」に精錬され、正規形を用いてそれが滑らかな部分多様体であることが証明された。
• 調和振動子モデルは、シームが動的挙動に影響を与えることを示しており、還元系における幾何的・物理的関連性を確認した。