[論文レビュー] Haar measure on a locally compact quantum group

Byung-Jay Kahng|ArXiv.org|Oct 31, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形ポアソン構造を有する可解リー群の変形量子化によって構成された特定の非コンパクトな $C^*$-代数的量子群 $(A, \triangle)$ が、Kustermans と Vaes の意味での局所コンパクト量子群の公理を満たすことを確立する。多重ユニタリ作用素を用いて $A$ 上に左および右不変なハール測度を厳密に構成し、不変性を検証することで、著者らは $(A, \triangle)$ が真に局所コンパクト量子群であることを確認した。これは、初期の研究における基礎的欠落を解消するものである。

ABSTRACT

In the general theory of locally compact quantum groups, the notion of Haar measure (Haar weight) plays the most significant role. The aim of this paper is to carry out a careful analysis regarding Haar weight, in relation to general theory, for the specific non-compact quantum group (A,Δ) constructed earlier by the author. In this way, one can show that (A,Δ) is indeed a ``(C*-algebraic) locally compact quantum group'' in the sense of the recently developed definition given by Kustermans and Vaes. Attention will be given to pointing out the relationship between the original construction (obtained by deformation quantization) and the structure maps suggested by general theory.

研究の動機と目的

• 以前に構成された $C^*$-代数的量子群 $(A, \triangle)$ が、Kustermans と Vaes の意味での局所コンパクト量子群であることを厳密に検証すること。
• 初期の研究におけるハール測度の不完全な取り扱いを解消し、密度固有の $^*$-部分代数ではなく、全 $C^*$-代数 $A$ 上に直接的にハール測度を構成すること。
• 元々のポアソン–リー群に由来する構成と、一般理論が要請する構造写像（コムルティケーション、反作用、モジュラー関数）との関係を明確にすること。
• 多重ユニタリを用いた実装を通じて、双対量子群 $(\hat{A}, \hat{\Delta})$ を確立し、双対性および表現論の完全な枠組みを提供すること。

提案手法

• コムルティケーション $\Delta$ と正規表現を符号化する多重ユニタリ作用素 $U_A$ を用いて、$A$ 上にハール測度を構成する。
• $A$ の稠密な $^*$-部分代数 $\mathcal{A}$ 及びその双対 $\hat{\mathcal{A}}$ を用い、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上での左および右正規表現 $\lambda_f$ と $\rho_f$ を定義し、測度が適切に定義され、正規であることを保証する。
• 多重ユニタリ $\widehat{U_A}$ の作用を用いて、双対 $C^*$-代数 $B$ 上の測度 $\varphi_B$ の左および右不変性を証明する。この際、$[\rho_f, \lambda_g] = 0$ の可換関係を活用する。
• $B \cong \lambda(C^*(G))$ を部分フーリエ変換を用いて確立し、$B$ が可解リー群 $G$ の縮小群 $C^*$-代数に同型であることを示し、忠実で、半有限で、正規な測度の存在を裏付ける。
• $\widehat{U_A}$ が両方の代数上でのコムルティケーションを実装することを示し、$M_B = M_{\hat{A}}'$（$\hat{A}$ が生成するフォン・ノイマン代数の可換束）であることから、$(A, \Delta)$ と $(\hat{A}, \hat{\Delta})$ 間の双対性を検証する。
• 多重ユニタリの構造を用いて反作用およびモジュラー関数を導出し、元々のポアソン–リー群に由来する定義と照らし合わせ、一般理論との整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化によって構成された $C^*$-代数的量子群 $(A, \Delta)$ は、Kustermans と Vaes が定義する局所コンパクト量子群の公理を満たすか？
• RQ2 左および右不変なハール測度を、稠密な $^*$-部分代数ではなく、全 $C^*$-代数 $A$ 上に明示的に構成できるか？
• RQ3 ポアソン–リー群のデータに基づいて定義された元の構造写像（コムルティケーション、反作用、余単位元）は、一般理論から導かれる標準的な写像とどのように関係するか？
• RQ4 双対量子群 $(\hat{A}, \hat{\Delta})$ の正確な構造は何か？ そして、多重ユニタリ作用素によってどのように実現されるか？
• RQ5 多重ユニタリ $\widehat{U_A}$ は、元のおよび双対量子群を再構成するのに十分か？ また、必要な不変性および双対性の性質を満たしているか？

主な発見

• 双対 $C^*$-代数 $B$ 上のハール測度 $\varphi_B$ は、$\varphi_B(\lambda_f) = \int f(x,y,0) \, dxdy$ として明示的に構成され、$M_B$ 上に忠実で、半有限で、正規な測度へと拡張される。これにより、そのハール測度としての役割が確認される。
• $\varphi_B$ は、多重ユニタリ $\widehat{U_A}$ の作用を通じて、コムルティケーション $\Delta_B$ に関して左および右不変であることが確認され、局所コンパクト量子群の主要な要件を満たす。
• $C^*$-代数 $B$ は、縮小群 $C^*$-代数 $\lambda(C^*(G))$ に同型であることが示され、双対量子群の明示的実装が得られ、不変測度の存在を裏付ける。
• $\hat{\mathcal{A}}$ のすべての $f,g$ に対して $[\rho_f, \lambda_g] = 0$ が成り立つ。これは $M_B = M_{\hat{A}}'$ を意味し、双対性および多重ユニタリの構成に必要な重要な条件である。
• $(A, \Delta)$ の反作用およびモジュラー関数が、一般理論と整合することが示され、反作用はGNS写像の極分解から生じ、モジュラー関数はモジュラー自己同型群から導かれる。
• $\widehat{U_A}$ は基本的恒等式 $(L \otimes L)(\Delta a) = \widehat{U_A}^* (1 \otimes L(a)) \widehat{U_A}$ を満たし、コムルティケーションを実装する役割を果たし、量子群構造を保証する。