[論文レビュー] High dimensional Hawkes processes

Sylvain Delattre, Nicolas Fournier+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有向グラフ上の無限ネットワークへの多変量 Hawkes プロセスの一般化を行い、ポアソン駆動確率微分方程式系のパスワイズ存在および一意性を証明する。平均場および格子設定における大時間の大数の法則および中心極限定理を確立し、Z^d 上でのインパルスの伝播および消滅行動を明示的に分析する。

ABSTRACT

We generalise the construction of multivariate Hawkes processes to a possibly infinite network of counting processes on a directed graph $\mathbb G$. The process is constructed as the solution to a system of Poisson driven stochastic differential equations, for which we prove pathwise existence and uniqueness under some reasonable conditions. We next investigate how to approximate a standard $N$-dimensional Hawkes process by a simple inhomogeneous Poisson process in the mean-field framework where each pair of individuals interact in the same way, in the limit $N ightarrow \infty$. In the so-called linear case for the interaction, we further investigate the large time behaviour of the process. We study in particular the stability of the central limit theorem when exchanging the limits $N, T ightarrow \infty$ and exhibit different possible behaviours. We finally consider the case $\mathbb G = \mathbb Z^d$ with nearest neighbour interactions. In the linear case, we prove some (large time) laws of large numbers and exhibit different behaviours, reminiscent of the infinite setting. Finally we study the propagation of a {\it single impulsion} started at a given point of $\zz^d$ at time $0$. We compute the probability of extinction of such an impulsion and, in some particular cases, we can accurately describe how it propagates to the whole space.

研究の動機と目的

• 有向グラフ上の無限ネットワークへの多変量 Hawkes プロセスの拡張を図り、大規模な相互作用系のモデリングを可能にする。
• このようなグラフ上におけるポアソン駆動確率微分方程式系の解のパスワイズ存在および一意性を確立する。
• N → ∞ のときの N次元線形 Hawkes プロセスの平均場極限を分析し、大数の法則および中心極限定理を導出する。
• Z^d 上の最近接相互作用を伴う線形 Hawkes プロセスにおける単一インパルスの伝播および消滅を研究する。
• N → ∞ と T → ∞ の極限の相互作用における、さまざまな大時間行動を同定し、極限定理の安定性の文脈で特徴づける。

提案手法

• ポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式系の解として、無限次元 Hawkes プロセスを構築する。
• 解のパスワイズ一意性および存在性を保証するため、相互作用カーネル φ_ji および強度関数 h_i に収縮法による条件を課す。
• 平均場近似技術を用いて、N次元線形 Hawkes プロセスの N → ∞ 極限を分析し、決定的極限を導出する。
• 畳み込み方程式および行列作用素（例：Z^d 上の A）を用いて空間的相互作用をモデル化し、強度過程の時間微分方程式を導出する。
• Lebesgue支配収束定理および Grownwall 型不等式を用いて、モーメントの収束および極限定理の安定性を証明する。
• Z^d 上でのインパルス伝播を、消滅確率の計算およびカーネル φ と確率的行列 A を用いた初期ジャンプの広がりの特徴づけにより分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフ上の無限ネットワークにおける多変量 Hawkes プロセスが、一意的かつパスワイズに解をもつための条件は何か？
• RQ2 線形 N次元 Hawkes プロセスの平均場極限は N → ∞ のときどのように振る舞い、大数の法則としてどのような結果が得られるか？
• RQ3 平均場フレームワークにおいて、N → ∞ と T → ∞ の極限の順序を入れ替えた場合、中心極限定理はどのように変化するか？
• RQ4 最近接相互作用を伴う線形 Hawkes プロセスにおいて、Z^d 格子上を単一インパルスがどのように伝播するか？
• RQ5 Z^d の一点に起因する単一インパルスの消滅確率は何か？また、これは相互作用カーネルにどのように依存するか？

主な発見

• 相互作用カーネルおよび強度関数に弱い可積分性および正値性条件を課すと、ポアソン駆動確率微分方程式系は一意的かつ右連続で不変な解をもつ。
• 平均場極限 N → ∞ において、N次元線形 Hawkes プロセスの経験測度は、相互作用カーネルを含む畳み込み方程式によって支配される決定的極限に収束する。
• 平均場領域では中心極限定理が成り立つが、その安定性は極限の順序に依存する：N → ∞ と T → ∞ の順序を入れ替えると、異なる極限的挙動が生じる可能性がある。
• 最近接相互作用を伴う Z^d 上では、強度過程は行列 A を用いた畳み込み方程式を満たし、強度の時間微分は A のべき乗を含む Neumann 級数で与えられる。
• 特定の相互作用カーネルの下では、単一インパルスの消滅確率は 1 よりも厳密に小さいことが示され、これはグローバル伝播の可能性を示唆する。
• 特定の相互作用カーネルに対しては、インパルスの伝播が明示的に記述可能であり、カーネルの減衰率に応じて力学的（ボールスティック）または拡散的（拡散的）に広がる。