[論文レビュー] Higher dimensional Enriques varieties and automorphisms of generalized Kummer varieties

Samuel Boissière, Marc Nieper-Wißkirchen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定点のない有限位数の自己同型による商として得られる高次元のエヌリクス多様体を、特に対応する一般化されたクーマー多様体として定義する。次に、一般化されたクーマー多様体上での位数3および4の自己同型を用いて、次元4および6のエヌリクス多様体の具体的な例を構成し、元のアーベル曲面上の自己同型から誘導される自然な自己同型を分類する。

ABSTRACT

We define Enriques varieties as a higher dimensional generalization of Enriques surfaces and construct examples by using fixed point free automorphisms on generalized Kummer varieties. We also classify all automorphisms of generalized Kummer varieties that come from an automorphism of the underlying abelian surface.

研究の動機と目的

• 固定点のない有限自己同型による商として、非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の商として高次元のエヌリクス多様体を定義することにより、エヌリクス曲面を高次元に一般化すること。
• 元のアーベル曲面上の自己同型から生じる一般化されたクーマー多様体の自己同型を分類すること。
• 一般化されたクーマー多様体上での位数3および4の自己同型を用いて、次元4および6のエヌリクス多様体を具体的に構成すること。
• アルノー・ボエヴィルが提起した、高次元におけるこのような多様体の存在に関する疑問を解決すること。

提案手法

• 固定点のない有限群作用がシンプレクティック形式に純粋に非シンプレクティックに作用する非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の商としてエヌリクス多様体を定義する。
• 複素乗法を持つ楕円曲線 $E$ を用いたアーベル曲面 $A = E \times E$ に関連する一般化されたクーマー多様体 $K_n(A)$ を用いる。
• $h$ を単位根を対角成分にもつ行列とし、$t_a$ を位数 $n$ の torsion 点による平行移動とする。このとき、$A$ 上の自己同型 $\psi = t_a \circ h$ を構成し、$K_n(A)$ 上の自己同型を定義する。
• 軌道点の和を分析し、$a_1$ と単位根を含む第一座標に関する条件を解くことで、$K_n(A)$ 上の固定点の不在を確認する。
• $n=3,4$ に対して、$a_1$ に関する必要な線形条件が非自明な解を持つことを示すことにより、群 $\langle \psi^{[n]} \rangle$ が $K_n(A)$ 上で自由に作用することを証明する。
• 次元10の反例を構成する。$W = K_3(A)$ とカバリ–ヤウ3次元多様体 $V$ の積 $W \times V$ を取り、$V$ 上の自由な対合 $\iota$ を用いて、非分裂エヌリクス多様体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の固定点のない自己同型による商として、エヌリクス曲面を高次元に一般化できるか？
• RQ2 一般化されたクーマー多様体のどの自己同型が、元のアーベル曲面上の自己同型から生じるか？
• RQ3 位数3および4の固定点のない自己同型による商として、次元4および6のエヌリクス多様体が存在するか？
• RQ4 非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の自由群作用による商でないエヌリクス多様体を構成できるか？
• RQ5 一般化されたクーマー多様体の自己同型が、点のヒルベルトスキーム上で自由に作用する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、一般化されたクーマー多様体 $K_3(A)$ および $K_4(A)$ を用いて、位数3および4の固定点のない自己同型による商として、次元4および6のエヌリクス多様体の具体的な例を構成する。
• $n=3$ の場合、$a_1 = 1/3$ を選ぶと、$(2 + \zeta_3)a_1 = 0$ が $E$ 内で満たされないため、自己同型 $\psi^{[3]}$ は $K_3(A)$ 上で自由に作用する。
• $n=4$ の場合、$a_1 = 1/4$ を選ぶと、$2(1+i)a_1 = 0$ が満たされないため、$\psi^{[4]}$ は $K_4(A)$ 上で自由に作用する。
• $n=6$ の場合、$K_6(A)$ 上の自己同型 $f^{[6]}$ は、$a_1 = 1/3$ ならば固定点を持たないため、弱エヌリクス多様体が得られる。
• 次元10のエヌリクス多様体を、$X = W \times V$ として $W = K_3(A)$ と $V$ をカバリ–ヤウ3次元多様体として構成する。$f^{[3]} \times \iota$ の自由作用により、$Y$ は単一の非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の商として得られない。
• 構成された次元10のエヌリクス多様体は可約であり、$(W / \langle f^{[3]} \rangle) \times (V / \langle \iota \rangle)$ に同型である。これは、すべてのエヌリクス多様体が非特異的ホロモルフィックシンプレクティック多様体の自由群作用による商として得られるわけではないことを示している。