[論文レビュー] Higher genus Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of points of the plane and CohFTs associated to local curves

Rahul Pandharipande, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子微分方程式の解析接続とR行列分類を用いて、$ℂ^2$ 上の$n$ 個の点のヒルベルトスキームのゲージ理論と、その対称積のオルビフォールドゲージ理論、および局所的曲線のドナルドソン＝トーマス理論の間の完全な高 genus 同型を確立する。主な結果は、すべての genus における完全な同型の三角形であり、Givental-Teleman理論とCohFTを用いて、クレパント解体予想の特殊な場合を証明する。

ABSTRACT

We study the higher genus equivariant Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of n points of the plane. Since the equivariant quantum cohomology is semisimple, the higher genus theory is determined by an R-matrix via the Givental-Teleman classification of Cohomological Field Theories (CohFTs). We uniquely specify the required R-matrix by explicit data in degree 0. As a consequence, we lift the basic triangle of equivalences relating the equivariant quantum cohomology of the Hilbert scheme and the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for 3-fold theories of local curves to a triangle of equivalences in all higher genera. The proof uses the previously determined analytic continuation of the fundamental solution of the QDE of the Hilbert scheme. The GW/DT edge of the triangle in higher genus concerns new CohFTs defined by varying the 3-fold local curve in the moduli space of stable curves. The equivariant orbifold Gromov-Witten theory of the symmetric product of the plane is also shown to be equivalent to the theories of the triangle in all genera. The result establishes a complete case of the crepant resolution conjecture.

研究の動機と目的

• Givental-Teleman分類を用いて、$ℂ^2$ 上のヒルベルトスキームの既知の半単純量子コホモロジーを、CohFT分類を用いて高 genus ゲージ理論に拡張する。
• すべての genus において、$ℂ^2$ 上のヒルベルトスキームのゲージ理論、$ℂ^2$ の対称積のオルビフォールドゲージ理論、および局所的曲線のドナルドソン＝トーマス理論の間の完全な同型の三角形を確立する。
• $ℂ^2$ 上の$n$ 個の点のヒルベルトスキームのクレパント解体予想を、三つの理論間のR行列の一致を用いて証明する。
• 量子微分方程式の解の解析接続を用いて、$q = -1$ におけるR行列の非自明な一致を解消する。

提案手法

• 等置量子コホモロジーの半単純性を用いて、Givental-Teleman分類を用いてCohomological Field Theories (CohFTs) を再構成し、R行列から高 genus 不変量を再構成する。
• $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ のR行列を明示的な次数0データを用いて構成し、変数変換 $-q = e^{iu}$ を用いて $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$ のR行列と一致させる。
• $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ の量子微分方程式 (QDE) の基本解の解析接続を、[30] で計算されたものに基づき、$q=0$ から $q=-1$ にまで拡張し、対称積理論との比較を可能にする。
• Fock空間形式を用いてコホモロジーと量子コホモロジーを記述し、生成・消滅演算子が真空ベクトルに作用してNakajima基底を生成する。
• 状態空間 $\mathsf{V}$ と $\widetilde{\mathsf{V}}$ の間の同型を $|\mu\rangle \mapsto |\widetilde{\mu}\rangle$ で定め、量子パラメータを $-q = e^{iu}$ で関連付ける。
• 変数変換と状態空間の同一視の下で、微分方程式とR行列の一致を検証し、完全なCohFT同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Givental-Teleman形式を用いて、半単純量子コホモロジーから $ℂ^2$ 上のヒルベルトスキームの高 genus ゲージ理論を完全に再構成できるか？
• RQ2 すべての genus において、$ℂ^2$ 上のヒルベルトスキームのゲージ理論、$ℂ^2$ の対称積のオルビフォールドゲージ理論、および局所的曲線のドナルドソン＝トーマス理論の間の完全な同型が存在するか？
• RQ3 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ のR行列を $q=0$ から $q=-1$ にまで拡張することで、対称積理論との比較を可能にする方法は何か？
• RQ4 量子微分方程式の解の解析接続により、$q = -1$ におけるR行列の非自明な一致が可能になるか？
• RQ5 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ に対して、すべての genus におけるCohFT同型の完全な三角形を用いて、クレパント解体予想を完全に検証できるか？

主な発見

• $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ のR行列が $q = -1$ で、変数変換 $-q = e^{iu}$ を施した後、$\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$ のR行列が $u = 0$ で一致し、完全なCohFT同型が達成される。
• 局所的曲線のGW/DT対応が、安定曲線のモジュライ空間における3-fold局所曲線の変動によって定義される新しいCohFTを用いて、すべての genus に拡張される。
• $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$ の等置オルビフォールドゲージ理論は、すべての genus において三つの理論の同型と等価であり、この場合のクレパント解体予想が完全に完成する。
• $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$ の量子微分方程式 (QDE) の解が $q=0$ から $q=-1$ に解析接続され、非自明なR行列の一致が解消される。
• 完全な同型の三角形が確立される：$\Omega_{g,r} = \widetilde{\Omega}_{g,r}$ は $\mathsf{V} \to \widetilde{\mathsf{V}}$ および $-q = e^{iu}$ の下で成り立ち、$\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$ は双対変換の下で成り立つ。
• すべての genus においてGW/DT一致が成り立つ：$\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$ は $\widetilde{\mathsf{V}} \leftarrow \mathsf{V}$ および $-q = e^{iu}$ の下で成り立ち、高 genus 対応が確認される。