[論文レビュー] The Chern character of the Verlinde bundle over the moduli space of stable curves

Alina Marian, Dragos Oprea+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、安定曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のヴェルリンド束の全チャーン類の明示的公式を導出する。この公式は、脚、頂点、辺の寄与をもつ安定グラフの和として表現される。主な結果は、半単純性、ヒチン接続の射影的平坦性、およびギヴェンタル＝テレマン分類を用いて、タウトロジカル類を用いた閉形式で表されたものであり、レベル $r$ と genus $g$ におけるコンformal blocks やシータ関数への応用を有する。この公式により、高次のチャーン類がタウトロジカル環に属することが確認され、コンパクト型部分空間では大幅に簡略化される。

ABSTRACT

We prove an explicit formula for the total Chern character of the Verlinde bundle over the moduli space of pointed stable curves in terms of tautological classes. The Chern characters of the Verlinde bundles define a semisimple CohFT (the ranks, given by the Verlinde formula, determine a semisimple fusion algebra). According to Teleman's classification of semisimple CohFTs, there exists an element of Givental's group transforming the fusion algebra into the CohFT. We determine the element using the first Chern class of the Verlinde bundle on the moduli space of nonsingular curves and the projective flatness of the Hitchin connection.

研究の動機と目的

• ヴェルリンド束の全チャーン類がタウトロジカル類の観点から明示的に表現できるように、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上でその公式を導出すること。
• ヴェルリンド束の高次チャーン類がタウトロジカル環 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ に属することを確立すること。
• 第一チャーン類とヒチン接続の射影的平坦性を用いて、ファション代数からCohFTに変換するギヴェンタル群の要素を特定すること。
• コンパクト型部分空間 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ におけるチャーン類の表現を簡略化し、コンパクトな指数関数的形にすること。

提案手法

• 境界除算子上のヴェルリンド束の要因分解則を用い、そのチャーン類が半単純なコhomological field theory (CohFT) を定義することを示す。
• 半単純CohFTのギヴェンタル＝テレマン分類を適用し、チャーン類を内部 $\mathcal{M}_{g,n}$ からコンパクト化モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ へ一意に拡張する。
• 拡張のための主要な入力として、[Ts] から得られる $\mathcal{M}_{g,n}$ 上のヴェルリンド束の第一チャーン類を用いる。
• チャーン類を安定グラフ $\Gamma$ の和として構成し、脚、頂点、辺の寄与を $\psi$-類、ヴェルリンド次数、および $\mathsf{w}(\mu)$ を含む辺要因を含める。
• 辺要因は表現論的重み $\mathsf{w}(\mu)$ と、接線類の和 $\psi_e' + \psi_e''$ を用い、$\frac{1 - \exp(-\mathsf{w}(\psi_e' + \psi_e''))}{\psi_e' + \psi_e''}$ で正規化する。
• コンパクト型部分空間 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ において生成関数の展開を用いて式を簡略化し、自己同型加重付きの押し出しを用いて項を一致させ、$\delta_e^{k+1} = \iota_*(-\psi' - \psi'')^k$ を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴェルリンド束の全チャーン類は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上でどのようにタウトロジカル類の観点から明示的に表現できるか？
• RQ2 ヴェルリンド束のチャーン類はタウトロジカル環 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ に属するか？
• RQ3 ギヴェンタル＝テレマン分類を用いて、第一チャーン類とヒチン接続の射影的平坦性から、全チャーン類を再構成できるか？
• RQ4 コンパクト型部分空間 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ におけるチャーン類の表現はどのように簡略化されるか？
• RQ5 表現論的重み $\mathsf{w}(\mu)$ と $\psi$-類は、グラフ和における辺および脚の寄与をどのように決定するか？

主な発見

• ヴェルリンド束の全チャーン類は、安定グラフ $\Gamma$ の和として与えられ、脚、頂点、辺の寄与がそれぞれ $\exp(-\mathsf{w}(\mu_l)\psi_l)$、ヴェルリンド次数 $d_{g_v}(\mu_1,\dots,\mu_{n_v})$、および $\frac{1 - \exp(-\mathsf{w}(\mu)(\psi_e' + \psi_e''))}{\psi_e' + \psi_e''}$ の辺要因によって重み付けられる。
• ヴェルリンド束の高次チャーン類は、公式の構造のおかげでタウトロジカル環 $RH^\star(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ に属する。
• コンパクト型部分空間 $\mathcal{M}_{g,n}^c$ では、チャーン類は $\mathrm{ch}(\mathbb{E}_{g}(μ_1,\dots,\mu_n)) = r^g \exp\left(-\frac{r-1}{2}\lambda_1 - \sum_{i=1}^n \mathsf{w}_{\mu_i}\psi_i + \sum_e \mathsf{w}_e \delta_e\right)$ に簡略化される。
• 辺の重み $\mathsf{w}_e$ は、各頂点および辺で隣接する半辺に $r$ を法とする整数を割り当て、その和が 0 になるようにする。木構造のおかげで一意性が保証される。
• コンパクト型部分空間におけるチャーン類の公式は、ユニバーサルヤコビアン上のレベル $r$ の射影的平坦なシータ関数バンドルと整合しており、より深い双対性を示唆している。