[論文レビュー] Higher SPT's and a generalization of anomaly in-flow

Ryan Thorngren, Curt von Keyserlingk|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、2+1次元のDijkgraaf-Witten理論における深刻な't Hooft異常を、グローバル対称性$G$をより高い対称性へ拡張することにより、異常流入によってキャンセルできることを示している。具体的には、1形式対称性と0形式対称性を含む2群対称性に拡張することで、そのような異常をキャンセル可能となる。主な結果は、$G$が$d$群対称性によって保護されるより高いSPT相で規格化された場合、すべての異常は異常流入を満たすことであり、その際、出現する1形式ゲージ場は$H^3$異常クラスに由来し、これは$G$の領域壁が増殖する際に任意子的欠陥が出現することを示唆する。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases of bosons in $d$ spatial dimensions have been characterized by the action of the protecting global symmetry $G$ on their boundary. The symmetry acts on the boundary in a way that would be impossible to realize in a purely $d-1$ dimensional system i.e., without the bulk. This is often formalized by saying the $G$ symmetry is anomalous when the boundary theory is gauged. Simultaneously gauging the symmetry on the boundary and in the bulk yields a gauge-invariant composite system. One says there is an anomaly in-flow from the boundary to the bulk. Recently it has been appreciated that some anomalies are too severe to be regulated by an SPT bulk. These do not satisfy anomaly in-flow in the traditional sense. However, we show that these anomalous systems can be regulated as the symmetric boundaries of the newly discovered higher SPT phases. These higher SPT's are protected by a symmetry $d$-group, a higher categorical version of a group which can charge not just particles but also strings, volumes, etc. This structure emerges naturally from computation of the anomaly. One can interpret these severe anomalies as producing an emergent higher-form gauge field when $G$ is gauged, and this gauge field participates in the bulk topological action.

研究の動機と目的

• 有限グローバル対称性$G$に対するすべての't Hooft異常が、従来の意味での異常流入を満たすかどうかを検証すること。
• 従来の3+1次元$G$ゲージ理論ではキャンセルできないほど深刻な異常は、$d$群対称性を持つより高いSPT相によって規格化可能であることを示すこと。
• $H^3$異常障害と、モジュラーテンソルカテゴリの$G$-クロスドブレード拡張における$H^3$障害との間の関係を確立すること。
• $G$をゲージ化した際に出現する1形式ゲージ対称性が異常を引き起こすことを示し、$H^3$コサイクルが関連する任意子的欠陥の電荷を決定すること。
• $G$対称なDijkgraaf-Witten理論が、超局所的$d$群対称性を持つより高いSPT相の境界として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 異常を深刻さの度合いごとにフィルタリングし、必要な対称性拡張のレベルを特定するために、セレ-スペクトル系列を用いる。
• 3次元の$G_{\text{gauge}} = \bbZ/3$と、チェーン＝シモンズ型作用$S_{3d} = \frac{1}{3} \int \tilde{a} \cup \frac{\delta \tilde{a}}{3}$を用いて、バルク理論をモデル化する。
• ゲージ場$a$の整数リフト$\tilde{a}$を導入し、ボッケシュタイン同型写像$Bock(a) = \frac{\delta \tilde{a}}{3}$を定義する。これは3を法として定義され、閉形式ではあるが、必ずしも完全形式ではない。
• ボッケシュタインの1番目の先行者$Bock_1(a;f)$を計算し、ゲージ変換の解析と$G_{\text{gauge}}$に関する作用の不変性を検証する。
• $G_{\text{global}}$のゲージ化による異常変化が、1形式および2形式の両方を含む2ゲージ場を含む4+1次元トポロジカル作用の境界変化によってキャンセルされることを示す。
• $H^3$異常クラスが、ゲージ化に伴いアブーリアン任意子の凝縮に関連することを関連づけ、任意子の電荷がバックグラウンド1形式ゲージ場によって決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限グローバル対称性$G$に対するすべての't Hooft異常は、標準的な3+1次元$G$ゲージ理論において異常流入によってキャンセル可能か？
• RQ2 従来の異常流入を遮断する深刻な異常をキャンセルするために、グローバル対称性$G$が最小でどの程度拡張される必要があるか？
• RQ3 $H^3$コhomologyクラスが、出現する1形式対称性および任意子の凝縮とどのように関係するか？
• RQ4 すべての$G$対称Dijkgraaf-Witten理論は、超局所的$d$群対称性を持つより高いSPT相の境界として実現可能か？
• RQ5 ボッケシュタイン同型写像およびその先行者たちが、異常とゲージ不変性を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• Dijkgraaf-Witten理論におけるすべての't Hooft異常は、$G$を$\Pi_2$がTQFTにおけるアブーリアン任意子の群に同型となる2群対称性に拡張することで、異常流入を満たす。
• $H^3$異常クラスは、$G$をゲージ化した際に1形式ゲージ対称性が出現することを示し、コサイクルが$G$の領域壁が増殖する際に形成される結合子バブルの電荷を決定する。
• $G_{\text{global}}$のゲージ化による異常変化は、1形式および2形式の両方を含む2ゲージ場を含む4+1次元トポロジカル作用の境界変化によってキャンセルされる。
• 場の理論における$H^3$障害は、モジュラーテンソルカテゴリの$G$-クロスドブレード拡張における$H^3$障害と正確に一致し、深い数学的・物理的リンクを確立する。
• $G$対称Dijkgraaf-Witten理論は、超局所的$d$群対称性を持つより高いSPT相の境界として実現可能であり、従来のSPT境界条件を一般化する。
• 出現する1形式ゲージ場はバルクトポロジカル作用に参加し、アブーリアン任意子の凝縮（任意子の凝縮）は、2-SPTバルクが存在する場合にのみ一貫性を持つ。2+1次元では成立しない。