[論文レビュー] Hilbert schemes as moduli of Higgs bundles and local systems

Michael Groechenig|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、楕円曲線の余接 bundle における有限群作用の等長的 Hilbert scheme を用いて、5つの無限族の2次元のパラボリック Higgs バンドルおよびローカル系のモジュライ空間を構成する。Hilbert scheme がこれらのモジュライ空間上で m 個の点を持つとき、再びパラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間であることを証明し、Boalch の予想を確認するとともに、Gorsky–Nekrasov–Rubtsov の研究を拡張する。結果は McKay 対応および Fourier-Mukai 変換を用いて確立され、モジュライ空間に対して導来自己同値が証明されている。

ABSTRACT

We construct five families of two-dimensional moduli spaces of parabolic Higgs bundles (respectively local systems) by taking the equivariant Hilbert scheme of a certain finite group acting on the cotangent bundle of an elliptic curve. We show that the Hilbert scheme of m points of these surfaces is again a moduli space of parabolic Higgs bundles (respectively local systems), confirming a conjecture of Boalch in these cases and extending a result of Gorsky--Nekrasov--Rubtsov. Using the McKay correspondence we establish the autoduality conjecture for the derived categories of the moduli spaces of Higgs bundles under consideration.

研究の動機と目的

• 有限群 Γ が楕円曲線の余接 bundle に作用する対称性を用いて、等長的 Hilbert scheme を用いて2次元のパラボリック Higgs バンドルおよびローカル系の明示的族を構成すること。
• このようなモジュライ空間上で m 個の点を持つ Hilbert scheme が再び Higgs バンドルのモジュライ空間であるという Boalch の予想を検証すること。
• McKay 対応を用いて、これらのモジュライ空間の導来カテゴリの自己同値（自己双対性）を確立すること。
• Higgs バンドルのモジュライの幾何的枠組みをオービキューブおよび正の特異的特徴に拡張すること。
• パラボリックおよびオービキューブの文脈における Higgs バンドルとローカル系の間の対応の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• 楕円曲線の余接 bundle における Γ-Hilbert scheme としてモジュライ空間を構成し、Γ は曲線の対称性による有限群作用をもつ。
• BNR 対応を用いて Higgs バンドルとそのスペクトル曲線上のスペクトルデータを関連させ、商空間の特異点を解消するための正則解消技術を適用する。
• Fourier-Mukai 変換を用いて、モジュライ空間の導来カテゴリとその双対との間の導来同値を確立する。
• McKay 対応を用いて、有限群の表現論と正則解消の幾何を関連付ける。
• Étale 局所同値性技術を用いて、正の特異的特徴におけるオービキューブ上のローカル系と Higgs バンドルのモジュライを比較する。
• Galois 共形理論および Tsen の定理を用いて、gerbes がオービキューブ上で中立化されることを示し、必要な同値性の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のパラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間上で m 個の点を持つ Hilbert scheme は、再びそのようなバンドルのモジュライ空間として実現可能か？
• RQ2 パラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間の導来カテゴリは、McKay 対応の下で自己同値をもつか？
• RQ3 T*E/Γ の商空間の幾何と特異点は、パラボリック Higgs バンドルのモジュライとどのように関係するか？
• RQ4 Higgs バンドルとローカル系の間の étale 局所同値性は、オービキューブおよび正の特異的特徴にどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 Hilbert scheme を用いて、スペクトル対応および Hitchin 纤維をパラボリックおよびオービキューブの文脈に一般化可能か？

主な発見

• 安定なパラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間上で m 個の点を持つ Hilbert scheme は再びパラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間である。これは、Boalch の予想がこれらのケースで確認されたことを示している。
• Affine ダイニキン図形 Â0, D̃4, Ê6, Ê7, Ê8 に対応する5つのモジュライ空間族に対して、T*E の Γ-Hilbert scheme は安定なパラボリック Higgs バンドルのモジュライ空間に同型である。
• モジュライ空間は GIT 商 T*E/Γ の正則解消であり、この解消は Γ-Hilbert scheme の構成によって達成される。
• McKay 対応を用いて、これらのモジュライ空間に対して導来自己同値が確立され、その導来カテゴリの自己双対性予想が証明された。
• オービキューブ上のローカル系のモジュライスタックと Higgs バンドルのモジュライスタックの間で étale 局所同値性が確立され、パラボリックおよび正の特異的特徴の設定にまで結果が拡張された。
• Gm-gerbes が滑らかで完全なオービキューブ上で中立化されることを示すことで、証明は成立し、これにより必要な同値性の構成が可能になった。