[論文レビュー] Hitting minors on bounded treewidth graphs

Julien Baste, Ignasi Sau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、木幅が有界なグラフにおける ${\cal F}$-M-Deletion 問題のタイトなパrameterized複雑性バウンドを確立し、一般には実行時間が $2^{2^{O(tw\log tw)}}$ であることを示している。すべての ${\cal F}$ に属するグラフが連結で、かつ少なくとも1つが平面的である場合には $2^{O(tw\log tw)}$ に低下し、入力グラフが平面的または曲面に埋め込まれている場合には $2^{O(tw)}$ にさらに低下する。単一グラフ族 $">H\}$ に対しては、タイトな二分岐が得られる：$H$ がバナー（$P_5$ を除く）のマイナーである場合 $2^{\Theta(tw)}$、それ以外の場合は $2^{\Theta(tw\log tw)}$ である。すべての下界は ETH の下で成立する。

ABSTRACT

For a fixed collection of graphs ${\cal F}$, the ${\cal F}$-M-Deletion problem consists in, given a graph $G$ and an integer $k$, decide whether there exists $S \subseteq V(G)$ with $|S| \leq k$ such that $G \setminus S$ does not contain any of the graphs in ${\cal F}$ as a minor. We are interested in its parameterized complexity when the parameter is the treewidth of $G$, denoted by $tw$. Our objective is to determine, for a fixed ${\cal F}$, the smallest function $f_{\cal F}$ such that ${\cal F}$-M-Deletion can be solved in time $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ on $n$-vertex graphs. We prove that $f_{\cal F}(tw)=2^{2^{O(tw\log tw)}}$ for every collection ${\cal F}$, that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw\log tw)}$ if all the graphs in ${\cal F}$ are connected and at least one of them is planar, and that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw)}$ if in addition the input graph $G$ is planar or embedded in a surface. When ${\cal F}$ contains a single connected planar graph $H$, we obtain a tight dichotomy about the asymptotic complexity of $\{H\}$-M-Deletion. Namely, we prove that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ if $H$ is a minor of the banner (that is, the graph consisting of a $C_4$ plus a pendent edge) that is different from $P_5$, and that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ otherwise. All the lower bounds hold under the ETH. We also consider the version of the problem where the graphs in ${\cal F}$ are forbidden as topological minors, and prove similar results, except that, in the algorithms, instead of requiring ${\cal F}$ to contain a planar graph, we need it to contain a subcubic planar graph. We also prove that, for this problem, $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ for every $i \geq 1$, while for the minor version it holds that $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ for every $i \geq 4$.

研究の動機と目的

• treewidth $tw$ の $n$ 頂点グラフ上で ${\cal F}$-M-Deletion を時間 $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ で解ける最小の関数 $f_{\cal F}(tw)$ を特定すること。
• ${\cal F}$ の異なるクラス、特に平面性および連結性との関係において、問題のパrameterized複雑性を特徴づけること。
• $H$ が単一の連結平面的グラフである場合の ${\cal F} = \{H\}$ の場合のタイトな漸近的バウンドを確立し、$H$ がバナーのマイナー（$P_5$ を除く）であるかどうかに基づく二分岐を同定すること。

提案手法

• 木幅 $tw$ の木分解に基づく動的計画法を、マイナー閉じた族の構造を活用して開発する。
• 木幅とマイナー除外の理論を用いて、動的計画法テーブル内の関連する状態数の上限を求める。
• 既知の難問への還元を用いて、指数時間仮説（ETH）を適用し、下界を確立する。
• 特にバナーグラフとそのマイナーに注目した禁止マイナーの構造的解析を導入し、タイトな複雑性閾値を導出する。
• マイナー包含とトポロジカルマイナー包含の違いを区別し、それに応じてアルゴリズム的手法を調整する。
• トポロジカルマイナーの場合に、部分立方体平面グラフと一般の平面グラフを区別し、より強い構造的仮定を必要とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal F}$-M-Deletion 問題のパrameterized時間複雑性は、木幅 $tw$ でパラメータ化された場合、正確にはどの程度か？
• RQ2 すべての ${\cal F}$ に属するグラフが連結で、かつ少なくとも1つが平面的である場合、複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 $H$ が単一の連結平面的グラフである場合の $\{H\}$-M-Deletion の正確な複雑性閾値は何か？ また、$H$ がバナーのマイナー（$P_5$ を除く）であるかどうかに依存してどのように変化するか？
• RQ4 パrameterized設定において、マイナー包含とトポロジカルマイナー包含の複雑性はどのように異なるか？
• RQ5 平面性および曲面埋め込みは、木幅に対する指数的依存性を軽減するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の固定された ${\cal F}$ に対して、$n$ 頂点の木幅 $tw$ グラフ上で問題 ${\cal F}$-M-Deletion は時間 $2^{2^{O(tw\log tw)}} \cdot n^{O(1)}$ で解ける。
• すべての ${\cal F}$ に属するグラフが連結で、かつ少なくとも1つが平面的である場合、複雑性は $2^{O(tw\log tw)} \cdot n^{O(1)}$ に低下する。
• 入力グラフが平面的または曲面に埋め込まれている場合、複雑性はさらに $2^{O(tw)} \cdot n^{O(1)}$ に低下する。
• 単一の連結平面的グラフ $H$ に対して、$f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$ であるのは $H$ がバナーのマイナーであり $H \neq P_5$ の場合に限る。それ以外の場合は $f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$ である。
• すべての下界は指数時間仮説（ETH）の下でタイトであり、上界の最適性が確認される。
• トポロジカルマイナー削除の場合、$f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$（すべての $i \geq 1$）であるが、マイナー削除の場合、$f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$（$i \geq 4$）であるため、2つのバージョン間に顕著な差が生じる。