[論文レビュー] Hochschild homology and the derived de Rham complex revisited

Arpon Raksit|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ホモトピー論的構造（ホモトピー的同調的コチェーン複体やフィルトレーション付き円周作用）を用いて、導来 de Rham 複体と Hochschild 同調の HKR フィルトレーションに関する普遍的性質を確立する。これにより、導来代数的幾何学における Hochschild、負の循環的、周期的循環的同調と導来 de Rham コホモロジーの古典的関係が、普遍的特徴づけを通じて統一的かつ再証明される。

ABSTRACT

We characterize two objects by universal property: the derived de Rham complex and Hochschild homology together with its Hochschild-Kostant-Rosenberg (HKR) filtration. This involves endowing these objects with extra structure, built on notions of "homotopy-coherent cochain complex" and "filtered circle action" that we study here. We use these universal properties to give a conceptual proof that the associated graded of the HKR filtration identifies with the derived de Rham complex, as well as to give a new construction of the filtrations on cyclic, negative cyclic, and periodic cyclic homology that relate these invariants to derived de Rham cohomology.

研究の動機と目的

• 導来代数的幾何学における導来 de Rham 複体と HKR フィルトレーション付き Hochschild 同調の概念的で普遍的な特徴づけを提供すること。
• 普遍的性質を通じて、Hochschild、負の循環的、周期的循環的同調と導来 de Rham コホモロジーの既知の関係を統一すること。
• これらの普遍的性質を ∞-圏的設定で定式化するために必要な代数的構造（ホモトピー的同調的コチェーン複体とフィルトレーション付き円周作用）を導入し、発展させること。
• 循環的、負の循環的、周期的循環的同調のフィルトレーションを、導来 de Rham コホモロジーと関連付ける新しい概念的構成を提供すること。
• 古典的な HKR 定理と de Rham 比較同型を、これらの普遍的構造を用いて導来設定に一般化すること。

提案手法

• 本稿は、導来 de Rham コホモロジーを、古典的 de Rham 複体の導来版としてモデル化するため、h⁺-微分付きドレーム A-加群の概念を導入する。ここで、項は LΩⁱ_{B/A} を Ωⁱ_{B/A} の代わりに用いる。
• 導来 de Rham 複体の普遍的性質を、完全な減少する Z≥0-フィルトレーションを備えた E∞-A-代数として定義する。これは、任意の厳密可換 dg A-代数の零次項への写像の拡張を特徴づける。
• Hochschild 同調にフィルトレーション付き円周作用を構成する。これには、Tate 構成とフィルトレーション付き円周の導来双代数的構造を用いる。
• フィルトレーション付き軌道とフィルトレーション付き固定点の概念を導入し、S¹ 固定点を通じて HKR フィルトレーション付き Hochschild 同調と負の循環的・周期的循環的同調を関連付ける。
• 導来 de Rham 複体の普遍的性質とフィルトレーション付き円周作用の構造を用いて、アダムス作用を定義し、それらを導来 de Rham 複体上の ℓ-乗法に関連付ける。
• Hochschild および負の循環的同調のフィルトレーション付きアダムス作用の各成分数が、{ℓ*} に自然同型な h⁺-微分付きドレーム構造に等しいことを証明する。これは重要な整合性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルトレーション付き E∞-代数とホモトピー的同調的コチェーン複体を用いて、∞-圏的設定における導来 de Rham 複体をどのように普遍的に特徴づけられるか？
• RQ2 Hochschild 同調が循環的同調と導来 de Rham コホモロジーを関連付ける役割を捉えるために、HKR フィルトレーション付き Hochschild 同調の明確な普遍的性質は何か？
• RQ3 フィルトレーション付き円周作用と Tate 構成は、負の循環的および周期的循環的同調のフィルトレーションを概念的にどのように枠組み化するか？
• RQ4 Hochschild および負の循環的同調のアダムス作用は、導来 de Rham 複体上の ℓ-乗法に対応するどのような意味を持つのか？
• RQ5 導来 de Rham 複体の普遍的性質は、古典的なホッジフィルトレーションとその成分数が、導来微分形式のシフトとしてどのように回復されるのか？

主な発見

• 導来 de Rham 複体 dR∧_{B/A} は、完全な減少する Z≥0-フィルトレーションを備えた初期の E∞-A-代数として普遍的に特徴づけられる。ここで、零次成分数は B に等しい。
• HKR フィルトレーション付き Hochschild 同調 HH_fil(B/A) は、一致する h⁺-dg 構造と B から零次項への写像を備えた、フィルトレーション付き E∞-A-代数の圏における初期対象として普遍的に特徴づけられる。
• フィルトレーション付き Hochschild 同調の成分数は、h⁺-dg A-代数として導来 de Rham 複体と同値であり、gr_i(HH_fil(B/A)) ≃ LΩ^{+•}_{B/A}[−i] が成り立つ。
• Hochschild および負の循環的同調のアダムス作用が誘導する成分数の写像は、自然に {ℓ*} に同型であり、これは導来 de Rham 複体上の ℓ-乗法に対応する。
• 負の循環的および周期的循環的同調のフィルトレーションは、フィルトレーション付き Hochschild 同調の S¹ 固定点を通じて構成され、その成分数は導来 de Rham コホモロジーと普遍的性質を通じて整合的であることが示された。
• 本稿は、導来 de Rham コホモロジーと Hochschild 同調の古典的比較同型を、導来 de Rham 複体の普遍的性質とフィルトレーション付き円周作用の構造に還元することで、新しい概念的証明を提供する。