[論文レビュー] Holomorphic curves in the presence of holomorphic hypersurface foliations

Agustín Moreno, Richard Siefring|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、漸近的軌道の正規コールニッツ–ゼンダー指数に制約を課した場合、安定ハミルトニアン多様体内の擬全純曲線が、全的に holomorphic 超曲面からなる $\r$-不変のfoliation の葉に含まれることを確立する。主な結果は、曲線が葉に含まれるときかつそのときに限り、底面多様体への射影写像の次数が消えることであり、Morse関数の臨界点における符号条件が次数の符号またはゼロ性を決定する。

ABSTRACT

We prove a result which establishes restrictions on the pseudoholomorphic curves which can exist in a stable Hamiltonian manifold in the presence of certain $\mathbb{R}$-invariant foliations of the symplectization by holomorphic hypersurfaces. This result has applications in the first author's work on algebraic torsion in higher dimensional contact manifolds.

研究の動機と目的

• 安定ハミルトニアン多様体に holomorphic 超曲面からなる $\r$-不変のfoliation が備わっている場合、その中での擬全純曲線の存在に対する位相的障害を確立すること。
• 底面多様体上の $f$-適切なファイブレーションにおける、穴あき擬全純曲線の振る舞いを、ファイバーのシンプレクティック正規バンドルに関連して分析すること。
• 曲線が特定の1つの葉に完全に含まれることを保証する条件を、シンプレクティック正規バンドルから底面多様体の接空間への射影写像の符号に基づいて同定すること。
• 正規コールニッツ–ゼンダー指数の制約を用いて、曲線が葉に含まれるかどうかを、底面多様体への射影写像の次数と関連付けること。

提案手法

• Morse関数 $f$ の臨界点上に強安定ハミルトニアン超曲面をもつ $f$-適切なファイブレーション $(\Sigma, p, Y, f)$ を定義する。
• 射影 $p_*$ の向きの挙動を用いて、シンプレクティック正規バンドル $\xi_V^\perp$ のシンプレクティック自明化の優先ホモトピー類を構成する。
• 穴あき点における正規コールニッツ–ゼンダー指数 $\mu_N^\Phi(\gamma_{z}^{m_z}) \in \{-1, 0, 1\}$ を用いて、漸近的挙動とねじれ数を制御する。
• 射影写像 $\bar{v}: S \setminus \Gamma \to \Sigma$ を定義し、相対ねじれ数 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi$ と漸近的ねじれ数 $\operatorname{wind}_\infty^\Phi$ を用いてその次数を計算する。
• 補題 2.8 を適用し、次数がゼロでありかつ曲線が葉と交差するならば、曲線は完全にその葉に含まれることを示す。
• 射影写像 $p_*$ の符号を用いて次数の符号を決定する：すべての臨界点で $\operatorname{sign}(w) = 1$ ならば正、$\operatorname{sign}(w) = -1$ ならば負、符号が混合している場合はゼロ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき擬全純曲線が、$\r$-不変の holomorphic 超曲面からなる foliation の1つの葉に完全に含まれることを強制する条件は何か？
• RQ2 シンプレクティック正規バンドルから底面多様体の接空間への射影 $p_*$ の符号が、底面多様体への射影写像の次数にどのように影響するか？
• RQ3 漸近的軌道の正規コールニッツ–ゼンダー指数は、曲線が葉に含まれるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 射影写像 $\bar{v}$ の次数が何時ゼロになるのか、そしてそれは曲線の foliation に対する位置関係に何を意味するのか？
• RQ5 擬全純曲線が葉に含まれることを、次数やねじれ数といった位相的不変量のみを用いて特徴づけることができるか？

主な発見

• すべての臨界点 $w \in \operatorname{crit}(f)$ に対して $\operatorname{sign}(w) = 1$ ならば、射影写像 $\bar{v}$ の次数は非負であり、次数がゼロであることはかつそのときに限り、$\tilde{u}$ の像が foliation $\mathcal{F}$ の葉に含まれることに同値である。
• すべての臨界点 $w \in \operatorname{crit}(f)$ に対して $\operatorname{sign}(w) = -1$ ならば、射影写像 $\bar{v}$ の次数は非正であり、次数がゼロであることはかつそのときに限り、$\tilde{u}$ の像が foliation $\mathcal{F}$ の葉に含まれることに同値である。
• 符号関数 $\operatorname{sign}: \operatorname{crit}(f) \to \{-1,1\}$ が全射であるならば、$\deg(\bar{v}) = 0$ であり、$\tilde{u}$ の像は foliation $\mathcal{F}$ の葉に含まれる。
• 射影写像 $\bar{v}$ の次数がゼロになるのは、すべての穴あき点 $z \in \Gamma^\pm$ に対して相対ねじれ数 $\operatorname{wind}_{\text{rel}}^\Phi((C;z), Y_{w_z}) = 0$ であり、かつ $u(S \setminus \Gamma)$ の像がすべての臨界点上のファイバー $Y_w$ と交差しないときに限り成立する。
• 証明は補題 2.8 に依拠しており、$\deg(\bar{v}) = 0$ かつ $\tilde{u}$ が葉 $\tilde{Y}$ と交差するならば、$\tilde{u}$ は完全に $\tilde{Y}$ に含まれていなければならない。そうでなければ、互いに交差しないこととねじれ数の条件から矛盾が生じる。
• すべての漸近的軌道が正規コールニッツ–ゼンダー指数を $\{-1, 0, 1\}$ に持つという仮定のもとで、この結果は成り立つ。これにより、ねじれ数の不等式 $\mp \alpha_N^{\Phi;\mp}(\gamma_z^{m_z}) \geq 0$ が保証される。