[論文レビュー] On symplectic fillings of spinal open book decompositions I: Geometric constructions

Samuel Lisi, Jeremy Van Horn-Morris+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、接触トポロジーにおけるサポートするオープンブックの一般化として脊椎付きオープンブック分解を導入し、脊椎除去手術と呼ばれる新しいシンプレクティックコーボリズム構成を可能にする。ホロモーフィック曲線技術とシンプレクティック球面の障害を用いて、一部が平面的領域を有する接触多様体が弱いかつ強いかシンプレクティック的-fillableでないことを証明する。

ABSTRACT

A spinal open book decomposition on a contact manifold is a generalization of a supporting open book which exists naturally e.g. on the boundary of a symplectic filling with a Lefschetz fibration over any compact oriented surface with boundary. In this first paper of a two-part series, we introduce the basic notions relating spinal open books to contact structures and symplectic or Stein structures on Lefschetz fibrations, leading to the definition of a new symplectic cobordism construction called spine removal surgery, which generalizes previous constructions due to Eliashberg, Gay-Stipsicz and the third author. As an application, spine removal yields a large class of new examples of contact manifolds that are not strongly (and sometimes not weakly) symplectically fillable. This paper also lays the geometric groundwork for a theorem to be proved in part II, where holomorphic curves are used to classify the symplectic and Stein fillings of contact 3-manifolds admitting a spinal open book with a planar page.

研究の動機と目的

• プランルオープンブックを超えて、接触構造とシンプレクティック的-fillingsの間の関係を一般化するため、脊椎付きオープンブック分解を導入すること。
• エリアーシュベル、ゲイ＝スティプツィツ、ヴェンドルの以前のキャップ構成を一般化する新しいシンプレクティックコーボリズム構成「脊椎除去コーボリズム」を定義すること。
• 脊椎付きオープンブックが平面的ページを有する3次元多様体のシンプレクティック的およびステイン的-fillingsの分類の幾何的基盤を確立すること（第II部で完了）。
• シンプレクティック球面の障害を用いて、一部が平面的領域を有する接触多様体が弱いかつ強いかシンプレクティック的-fillableでないことを示すこと。
• ホロモーフィック曲線解析を用いて、プランル接触3次元多様体における弱い、強い、リウヴィル的、ステイン的-fillabilityの同値性を証明するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 3次元多様体を脊椎（表面へのS¹バンドル）とペーパー（円へのS¹バンドル）に分解する脊椎付きオープンブック分解を導入し、ペーパーのファイバーの境界が脊椎に接続されることを明示する。
• リウヴィル形式とコーナーの滑らか化を用いて、コーナーを持つシンプレクティックコラーサイドネighborhoodの幾何的構成を発展させ、脊椎およびペーパー周辺のシンプレクティック構造をモデル化する。
• 修正されたサーストンのトリックを適用し、適合するほぼ複素構造を構成し、リーマン・カスプ点の近傍でJを摂動することで、ほぼステイン的構造を達成する。
• シンプレクティック・レフシェーツ・ファイブレーションから脊椎を除去することで、接触多様体間の新しいシンプレクティックコーボリズムを構成する脊椎除去コーボリズムを構築する。
• ホロモーフィック曲線技術（特に、指数2のフレドホルム正則J-ホロモーフィック球面と交差の正の性質）を用いて、可縮性の障害を導出する。
• 補題5.2を適用し、非コンパクトな可縮性において、自己交差数が0で、シンプレクティック面積が異なるシンプレクティックに埋め込まれた球面が存在すると、矛盾が生じることを示し、非可縮性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディスクでない表面へのリーマン・カスプファイブレーションにおける、古典的なサポートするオープンブックとシンプレクティック的-fillingsの対応関係をどのように一般化できるか？
• RQ2 境界を持つ表面へのリーマン・カスプファイブレーションの境界構造から、自然に生じる新しいシンプレクティックコーボリズム構成は何か？
• RQ3 部分的に平面的脊椎付きオープンブックを有する接触3次元多様体が、弱いかつ強いかシンプレクティック的-fillingsをもたない条件は何か？
• RQ4 自己交差数が0で、シンプレクティック面積が異なるシンプレクティックに埋め込まれた球面の存在が、シンプレクティック的-fillabilityの障害として用いられるか？
• RQ5 フレドホルム指数や交差の正の性質といったホロモーフィック曲線不変量は、脊椎付きオープンブック多様体のシンプレクティック的-fillingsの位相にどのように制限を加えるか？

主な発見

• 脊椎除去手術は、エリアーシュベルのキャップ構成を一般化し、脊椎付きオープンブックに適用可能な新しいシンプレクティックコーボリズム構成として定義される。
• 本稿では、接触3次元多様体が部分的に平面的領域を有し、脊椎上で正確に弱いかつ強いかシンプレクティック的-fillingsを有する場合、その多様体は領域に等しくなり、その可縮性は基底表面へのリーマン・カスプファイブレーションによって分類されることを確立する。
• 非対称な部分的に平面的領域（非平面的ページまたは非対称な境界成分を有する）を有する接触多様体は、弱いかつ強いかシンプレクティック的-fillableでないことが示される。
• 非コンパクトなシンプレクティック的-fillingにおいて、自己交差数が0で、シンプレクティック面積が異なるシンプレクティックに埋め込まれた球面が存在すると、矛盾が生じ、非可縮性が示される。
• 繰り返し脊椎除去コーボリズムを用いて非コンパクトなシンプレクティック的-fillingを構成することで、ホロモーフィック曲線技術を適用し、障害結果を導出可能となる。
• 補題5.2は、境界に正の接触構造を持つコンパクトなシンプレクティック4次元多様体において、自己交差数が0で孤立した交点を持たない任意の2つのシンプレクティックに埋め込まれた曲面は、同じシンプレクティック面積を持つことを示し、重要な障害工具を提供する。