[論文レビュー] Holomorphic extension from the unit sphere in $\mathbb C^n$ into complex lines passing through a finite set

Mark Agranovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素数空間 $\mathbb{C}^n$ の単位球面上で実解析的関数が、閉単位球板内の2つの異なる点のいずれかを通るすべての複素直線に沿って正則に拡張できるならば、その関数は単位球板へ正則に拡張可能であることを確立する。主な結果は、2つの点のそれぞれを通る直線の束が、全体としての正則拡張可能性をテストするのに十分であることを示しており、単位球板におけるハルトックスの分離解析性定理の境界版を解消する。

ABSTRACT

Let $B^n$ be the $n$-dimensional unit complex ball and let $a$ and $b$ be two distinct points in its closure. Let $f$ be a real-analytic function on the complex unit sphere $\partial B^n.$ Suppose that for any complex line $L,$ meeting the two points set $\{a,b\},$ the function $f$ admits one-dimensional holomorphic extension in the cross-section $L \cap B^n.$ Then $f$ is the boundary value of a function holomorphic in $B^n$. Two points can not be replaced by a single point. The proof essentially uses recent result of the author about characterization of polyanalytic functions in the complex plane.

研究の動機と目的

• 複素数空間 $\mathbb{C}^n$ 内の単位球板の境界関数が実解析的である場合、その関数の全体的な正則拡張可能性をテストするために必要な最小の複素直線族を同定すること。
• 1つの点を通る1つの直線束が十分かどうかを解明し、それが十分でないことを示す一方で、2つのこのような束が十分であることを示すこと。
• 複素直線に沿った正則拡張に基づいて、境界版のハルトックスの分離解析性定理を確立すること。
• 2つの固定点を通る直線に沿った1次元正則拡張の性質を用いて、正則関数の境界値を特徴づけること。

提案手法

• 2点が $z_2 = 0$ 平面上にあると仮定し、モビウス自己同型を用いて $n=2$ の場合に還元すること。
• $z_2$ 変数におけるフーリエ展開の適用により、$z_1$-円板における正則拡張問題に帰着すること。
• 最近得られた、複素平面における円の鎖からのメロモルフィック拡張に関する結果を活用し、2次元の場合の正則性を導出すること。
• 2つの固定点 $a$ と $b$ を含むすべての複素2次元平面に2次元結果を適用することで、高次元への拡張を行うこと。
• 交わる2次元平面にわたる局所正則拡張を一意性定理を用いて貼り合わせ、全体としての正則関数を構成すること。
• モビウス変換により $a$ と $b$ が原点を通る座標直線に移されるようにした後、関数が原点を通るすべての複素直線で正則であることが示され、フォレリの定理により全体として正則であることが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球板内の正則関数の境界値は、1つの固定点を通る複素直線に沿った正則拡張によって特徴づけられるか？
• RQ2 2つの異なる点のそれぞれを通る複素直線の族（各直線が1つの点を通る）は、球面上の実解析的関数について、全体的な正則拡張可能性を保証するのに十分か？
• RQ3 境界関数が $2n-1$ 個の実変数に依存するという条件下で、全体的な正則拡張可能性をテストするために必要なパラメータの最小数は何か？
• RQ4 2点を通る直線に沿った1次元正則拡張性が、関数が球板内で正則でない場合でも、全体としての正則性を示唆できるか？

主な発見

• 閉単位球板 $\overline{B^n}$ 内の2つの異なる点 $a$ や $b$ を通るすべての複素直線に沿って正則に拡張可能な、$\partial B^n$ 上の実解析的関数は、$B^n$ 内の正則関数の境界値である。
• 1つの点を通る直線の族では、全体的な正則拡張可能性をテストするには不十分であり、反例 $f(z) = |z_1|^2$ によって示される。
• 証明は、$a$ と $b$ を含む複素2次元平面を用いて $n$ 次元問題を2次元問題に還元することに依存しており、ここでは円に基づく拡張定理が用いられる。
• 2次元平面における局所拡張を貼り合わせることで全体の正則拡張が構成され、共通の直線 $L_{a,b}$ 上での一意性定理により一貫性が保証される。
• モビウス変換により $a$ と $b$ が原点を通る座標直線に移された後、関数は原点を通るすべての複素直線で正則であるため、フォレリの定理により全体として正則である。
• 本結果は、$\overline{B^n}$ 内の $n+1$ 個のアフィン的に独立な点が、このようなテストに十分であるという予想を裏付けるものであり、実解析的関数に対しては2点で十分であることが判明する。