[論文レビュー] Holonomy groups and special geometric structures of pseudo-Kählerian manifolds of index 2

Anton S. Galaev|ArXiv.org|Dec 14, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、u(1, n+1) の弱く完全でない（完全でない）ベルジャール部分代数のすべてを特定し、それらの計量を構成することで、指数2の擬ケーラー多様体のホロノミー代数を分類する。すべてのこのようなベルジャール代数が、指数2の擬ケーラー計量のホロノミー代数として実現可能であることを証明し、完全な分類を提供するとともに、対称空間およびローレンツ的ササキ多様体上の時空的コーンへの応用を示す。

ABSTRACT

The problem of classification of connected holonomy groups (equivalently of holonomy algebras) for pseudo-Riemannian manifolds is open. The classification of Riemannian holonomy algebras is a classical result. The classification of Lorentzian holonomy algebras was obtained recently. In the present paper weakly-irreducible not irreducible subalgebras of $\su(1,n+1)$ ($n\geq 0$) are classified. Weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras of pseudo-Kählerian and special pseudo-Kählerian manifolds are classified. An example of metric for each possible holonomy algebra is given. This gives the classification of holonomy algebras for pseudo-Kählerian manifolds of index 2. Finally we consider some examples and applications. We describe examples of 4-dimensional Lie groups with left-invariant pseudo-Kählerian metrics and determine their holonomy algebras. We use our classification of holonomy algebras to give a new proof for the classification of simply connected pseudo-Kählerian symmetric spaces of index 2 with weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras. We consider time-like cones over Lorentzian Sasaki manifolds. These cones are also pseudo-Kählerian manifolds of index 2. We describe the local DeRham-Wu decomposition of the cone in terms of the initial Lorentzian Sasaki manifold and we describe all possible weakly-irreducible not irreducible holonomy algebras of such cones.

研究の動機と目的

• 指数2の擬ケーラー多様体のホロノミー代数を分類すること。
• su(1,n+1) の弱く完全でない（完全でない）部分代数を特定し、特徴づけること。
• u(1,n+1) のどのベルジャール部分代数が擬ケーラー計量のホロノミー代数として現れるかを特定すること。
• 各々のこのようなベルジャール代数を実現する具体的な指数2の擬ケーラー計量を構成すること。
• 分類を対称空間およびローレンツ的ササキ多様体上の時空的コーンに応用すること。

提案手法

• 表現論とリー代数の構造を用いて、su(1,n+1) の弱く完全でない（完全でない）部分代数を分類する。
• 代数的曲率テンソルによって生成される必要があることから、u(1,n+1) のベルジャール部分代数をホロノミー代数の候補として特定する。
• 各々のこのようなベルジャール代数に対して、指数2の具体的な擬ケーラー計量を構成し、実現可能性を証明する。
• DeRham-Wu分解定理を用いて、ローレンツ的ササキ多様体上の時空的コーンの局所幾何的構造を分析する。
• 分類を用いて、弱く完全でない（完全でない）ホロノミーをもつ simply connected な擬ケーラー対称空間の分類を再確認する。
• 各ベルジャール代数の曲率テンソル空間を解析し、ホロノミー実現可能性と整合しているかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 su(1,n+1) の弱く完全でない（完全でない）部分代数はどのようなものがあり、どのように分類されるか？
• RQ2 u(1,n+1) のどのベルジャール部分代数が、指数2の擬ケーラー計量のホロノミー代数として実現可能か？
• RQ3 すべてのこのようなベルジャール代数が、適合する擬ケーラー計量の明示的構成によって実現可能か？
• RQ4 ローレンツ的ササキ多様体上の時空的コーンのホロノミー代数は、局所的にどのように分解されるか？
• RQ5 弱く完全でない（完全でない）ホロノミーをもつ、指数2の simply connected な擬ケーラー対称空間のホロノミー代数の構造は何か？

主な発見

• すべての弱く完全でない（完全でない）su(1,n+1) の部分代数が、n ≥ 0 に対して分類された。
• 弱く完全でない（完全でない）u(1,n+1) のベルジャール部分代数がすべて、指数2の擬ケーラー計量のホロノミー代数として実現可能である。
• 各々のこのようなベルジャール代数に対して、指数2の具体的な擬ケーラー計量が構成され、ホロノミー実現可能性が証明された。
• ローレンツ的ササキ多様体上の時空的コーンの局所的 DeRham-Wu 分解は、底面多様体の構造によって記述される。
• 弱く完全でない（完全でない）ホロノミーをもつ、指数2の simply connected な擬ケーラー対称空間の分類について、新たな証明が与えられた。
• 分類されたすべてのベルジャール代数の曲率テンソル空間が明示的に記述され、幾何的整合性が確認された。