[論文レビュー] Hom-alternative algebras and Hom-Jordan algebras

Abdenacer Makhlouf|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、自己準同型を用いて定義の恒等式を変形することで、通常の代数的代替代数およびジョルダン代数のねじれ一般化として、Hom-代替代数およびHom-ジョルダン代数を導入する。Hom-結合代数はHom-ジョルダン代数に極化されることを確立し、通常の代数の自己準同型を用いた構成法を提示する。主な結果として、特定のねじれ条件の下でHom-ジョルダン恒等式が成り立ち、Hom-代替代数が一般にはHom-ジョルダン代数を生じないことが示されている。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce Hom-alternative algebras and Hom-Jordan algebras. We discuss some of their properties and provide construction procedures using ordinary alternative algebras or Jordan algebras. Also, we show that a polarization of Hom-associative algebra leads to Hom-Jordan algebra.

研究の動機と目的

• 代替代数のねじれ版としてHom-代替代数を定義し、それらを研究すること。
• Hom-ジョルダン代数を導入し、極化を用いてHom-結合代数とその整合性を確立すること。
• 通常の代数の自己準同型を用いて、Hom-代替代数およびHom-ジョルダン代数の構成手順を提供すること。
• Hom-代替代数とHom-ジョルダン代数の関係を調査し、前者が一般には後者を誘導しないことを示すこと。

提案手法

• 線形写像αを含むねじれ左および右代替恒等式を用いてHom-代替代数を定義する。
• Hom-結合子を三重線形写像として導入し、Hom-代替恒等式を結合性のずれとして表現する。
• 通常の代替代数を自己準同型αでねじることでHom-代替代数を構成する。
• 恒等式μ(α²(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(α(x),y), α(μ(x,x)))を用いて、Hom-結合代数が極化によってHom-ジョルダン代数を生じることを示す。
• μα = α∘μと定義することで、通常のジョルダン代数からHom-ジョルダン代数を構成し、自己準同型によるねじれの下でHom-ジョルダン恒等式が成り立つことを証明する。
• αと可換な代数の準同型がHom-ジョルダン構造を保存することを示すことにより、準同型の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代替代数の概念は、写像αによるねじれを用いてHom構造に一般化可能か？
• RQ2 Hom-結合代数の極化はHom-ジョルダン代数をもたらすか？ そして、どのような条件下で？
• RQ3 通常のジョルダン代数から、代数自己準同型を用いてHom-ジョルダン代数を体系的に構成可能か？
• RQ4 ねじれ設定においてジョルダン恒等式を一般化する自然なHom-ジョルダン恒等式が存在するか？
• RQ5 標準的な構成法において、Hom-代替代数は一般にHom-ジョルダン代数を導くのか？

主な発見

• Hom-代替代数におけるHom-結合子は交代的であり、2つの引数が等しいときに消える。
• Hom-結合代数は極化によってHom-ジョルダン代数を誘導し、恒等式μ(α²(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(α(x),y), α(μ(x,x)))を満たす。
• αを代数自己準同型としてμα = α∘μと定義することで、通常のジョルダン代数からHom-ジョルダン代数を構成でき、この構成は準同型を保存する。
• Hom-ジョルダン恒等式は、μ(α(x), μ(y, μ(x,x))) = μ(μ(x,y), α(μ(x,x)))のような、ジョルダン恒等式の自明なねじれ版とは同値でない。後者は構造に対して閉じていない。
• 例3.7は、K³上での3次元Hom-ジョルダン代数をパラメータaとbを用いて示しており、これはHom-結合代数から導かれ、Hom-ジョルダン恒等式を満たす。
• Hom-代替代数は一般にHom-ジョルダン代数を生じない。これは、一般の場合にHom-ジョルダン恒等式が成り立たないことに起因する。