[論文レビュー] Hom-post-Lie modules, O-operators and some functors on Hom-algebras

Ibrahima Bakayoko|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ホモ・ポスト・リー代数またはモジュール構造写像の自己準同型によるねじれによって、ホモ・ポスト・リー加群が閉じていることを確立するホモ・ポスト・リー加群を導入する。また、$\nol$-作用素を用いてモジュール上に新しいホモ代数を構成し、ロータ・バーレルトおよび$O$-作用素の構成をホモ代数的設定に一般化する。さらに、ホモ・ポスト・リー加群の直和およびテンソル積が、依然としてホモ・ポスト・リー加群であることを証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study modules over Hom-post-Lie algebras and give some contructions and various twisting i.e. we show that modules over post-Hom-Lie algebras are close by twisting either Hom-post-Lie algebras or module structure maps. Given a type of Hom-algebra A, an A-bimodule M and an O-operator T : A ---> M, we give constructions another of Hom-algebra structure on M.

研究の動機と目的

• ホモ代数的設定における古典的ポスト・リー加群理論への一般化として、ホモ・ポスト・リー代数上の加群を定義し、その性質を研究すること。
• ホモ・ポスト・リー加群構造が、ホモ・ポスト・リー代数の自己準同型またはモジュール構造写像によるねじれによっても保存されることを示すこと。
• ホモ結合的代数上の双モジュールに関連する$\nol$-作用素を用いて、モジュール上に新しいホモ代数構造を構成すること。
• 既知のホモ・プリ・リー、ホモ・デンドリフレム、ホモ・L-デンドリフレム代数の構成を、ホモ結合的代数から$O$-作用素を用いて一般化すること。
• 古典的な$O$-作用素およびロータ・バーレルト構成を、非自明なねじれ写像を伴うホモ代数的文脈に拡張し、ねじれによって代数的恒等式が保存されることを示すこと。

提案手法

• ホモ・ポスト・リー代数上の双モジュールとして、ねじれ写像$\nol$を含むモジュール公理の変種を満たすホモ・ポスト・リー加群を導入する。
• 代数的構造をホモ結合的代数からモジュールへ持ち上げるために、$O$-作用素条件$T(x)\bullet T(y) = T(l(T(x))y + r(T(y))x)$を用いる。
• アインシュタインの和の規約を適用し、左/右乗法写像$l$および$r$を定義して、線形作用素としてのモジュール作用を表現する。
• ホモ結合的代数からホモ・プリ・リー代数を、$x \bullet y = R(x)\bullet y - y\bullet R(x)$という演算により構成する。ここで$R$は重み0のロータ・バーレルト作用素である。
• ホモ・L-デンドリフレム代数構造を、$u \triangleright v = l(T(u))v$および$u \triangleleft v = r(T(v))u$により、モジュール$V$上に定義する。ここで$T: V \to A$は$O$-作用素である。
• 直和およびテンソル積におけるホモ・ポスト・リー加群の閉包性を、ねじれモジュール公理が保存されることを検証することで証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモ・ポスト・リー代数上の加群の概念をどのように定義できるか。その基本的性質は何か。
• RQ2 ホモ・ポスト・リー代数の自己準同型またはモジュール構造写像によるねじれによって、ホモ・ポスト・リー加群構造が保存される条件は何か。
• RQ3 ホモ結合的代数上の$O$-作用素を用いて、その基になるモジュール上に新しいホモ代数構造を構成できるか。
• RQ4 $O$-作用素による構成を通じて、ホモ・プリ・リー代数、ホモ・デンドリフレム代数、ホモ・L-デンドリフレム代数の関係は何か。
• RQ5 非自明なねじれ写像を伴うホモ代数的文脈において、古典的な$O$-作用素およびロータ・バーレルト構成はどのように拡張されるか。

主な発見

• ホモ・ポスト・リー加群構造は、ホモ・ポスト・リー代数の自己準同型またはモジュール構造写像によるねじれによって閉じており、モジュール公理が保存される。
• 二つのホモ・ポスト・リー加群の直和およびテンソル積は、自然なホモ・ポスト・リー加群構造を誘導する。
• ホモ結合的代数$(A,\bullet,\nol)$、$A$-双モジュール$(M,l,r,\beta)$、および$\nol$-作用素$T: M \to A$が与えられたとき、$M$上に$u \triangleright v = l(T(u))v$および$u \triangleleft v = r(T(v))u$によりホモ・L-デンドリフレム代数構造が定義される。
• ホモ結合的ロータ・バーレルト代数（重み0）から、$x \bullet y = R(x)\bullet y - y\bullet R(x)$により$A$上にホモ・プリ・リー代数構造が構成できる。
• もし$\nol = \text{Id}$および$\beta = \text{Id}$であれば、構成は古典的結果を回復する：$O$-作用素により、アソシエイティブ代数と双モジュールから$L$-デンドリフレム代数が得られる。
• ホモ・プリ・リー代数から$O$-作用素を用いてホモ・デンドリフレム代数を構成する方法が確立され、演算は$u \triangleleft v = l(T(u))v$および$u \triangleright v = -r(T(u))v$で与えられる。