[論文レビュー] Hom-quantum groups III: Representations and module Hom-algebras

Donald Yau|ArXiv.org|Nov 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、非(コ)結合的構造を持つ量子群の一般化であるホモ-量子群の表現およびモジュールホモ代数を体系的に導入・研究する。2つの新規な「ねじれ原理」を用いて、ホモ-量子群、そのモジュール、モジュールホモ代数の導来族を構成し、特に多パラメータのホモ-ヴェルマモジュールや、ホモ-量子平面への$U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-モジュールホモ代数構造の非可算族を含む。

ABSTRACT

We study Hom-quantum groups, their representations, and module Hom-algebras. Two Twisting Principles for Hom-type algebras are formulated, and construction results are proved following these Twisting Principles. Examples include Hom-quantum n-spaces, Hom-quantum enveloping algebras of Kac-Moody algebras, Hom-Verma modules, and Hom-type analogs of U_q(sl_2)-module-algebra structures on the quantum planes.

研究の動機と目的

• ホモ-量子群の表現およびモジュールホモ代数の体系的理論を構築し、非(コ)結合的状況にまで量子群理論を拡張すること。
• 初期のホモ代数的構造から導来系列を生成する2つの新しいねじれ原理を定式化し、証明すること。
• 量子平面への量子群のコアクションをホモ-量子幾何に一般化し、ホモ-量子平面への新しいモジュールホモ代数構造を構成すること。
• ホモ-量子包あくり代数上の有限次元および無限次元モジュールの明示的構成を提供すること、特にホモ-ヴェルマモジュールを含むこと。
• 自己準同型によるねじれによってモジュールホモ代数構造が保存される条件を確立し、ホモ代数公理を保つこと。

提案手法

• 第一ねじれ原理を定式化：適切な自己準同型を用いて、通常の代数的構造をホモ型構造に変換する。
• 第二ねじれ原理を定式化：既存のホモ代数から、写像$\alpha$の反復を用いて新しいホモ代数を導出し、導来系列を生成する。
• ホモ-(コ)結合的 (コ)代数、ホモバイアルゲブラ、およびその準三角的／コブライディックな変種について、ねじれ原理を証明する。
• $U_q(\mathfrak{sl}_n)_{\alpha}$上の有限次元モジュールを、第一ねじれ原理を用いて対の準同型を用いて構成する。
• $U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\alpha}$上の無限次元ホモ-ヴェルマモジュールを、標準的ヴェルマモジュールに第一ねじれ原理を適用することで構成する。
• ホモ結合的代数$A$上のモジュールホモ代数構造が、$\alpha$によるねじれによって保存される条件を、$\alpha \circ \rho = \rho \circ (\alpha_\lambda \otimes \alpha)$の条件を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な量子群の表現を、ねじれによって非結合的ホモ-量子群に一般化する方法は何か？
• RQ2 ホモ結合的代数上のモジュールが、導来二重系列のホモ代数上のモジュールを生じるための条件は何か？
• RQ3 ねじれ原理を用いて、量子平面へのモジュール代数構造をホモ-量子幾何に一般化できるか？
• RQ4 ホモ-量子平面への$U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-モジュールホモ代数構造の明示的形は何か？パラメータに依存する仕組みは？
• RQ5 ホモブライディングまたは写像$\alpha$の繰り返しによるねじれから得られる導来構造は、ホモ-量子群の表現理論にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ホモ-量子平面$(\mathbb{A}^{2|0}_q)_{\beta}$上に、非可算で4パラメータの$U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-モジュールホモ代数構造の族が構成され、$\lambda \in \mathbf{C} \setminus \{0\}$、$\xi \in \mathbf{C}$、および整数$l,k \geq 0$でパラメータ化される。
• 非標準的$U_q(\mathfrak{sl}_2)$-モジュール代数構造から導出される、非可算で3パラメータの$U_q(\mathfrak{sl}_2)_{\gamma}$-モジュールホモ代数構造の族がホモ-量子平面に構成され、$\lambda \in \mathbf{C} \setminus \{0\}$、$l,k \geq 0$でパラメータ化される。
• 両方の構成において、$\lambda = 1$および$\xi = 1$と設定することで、元の$U_q(\mathfrak{sl}_2)$-モジュール代数構造が回復される。
• ホモ-ヴェルマモジュールは、第一ねじれ原理を用いて、単項式$x^m y^n$上で定義された作用をもって、無限次元モジュールとして明示的に構成される。
• ホモ-ヴェルマモジュールにおける$K^{\pm 1}$の作用は、$\rho_{\alpha}^{l,k}(K^{\pm 1}, x^m y^n) = q^{\pm(m-2n)} \lambda^{-2^k n} x^m y^n$で与えられ、ねじれパラメータの明示的依存性が示される。
• ホモ-ヴェルマモジュールにおける$E$および$F$の作用は、それぞれ$\rho_{\alpha}^{l,k}(E, x^m y^n) = q^{1-n}[n]_q \lambda^{l-2^k(n-1)} x^m y^{n-1}$および$\rho_{\alpha}^{l,k}(F, x^m y^n) = q^{-m}\frac{q^{2m}-q^{2n}}{q-q^{-1}} \lambda^{-l-2^k(n+1)} x^m y^{n+1}$で与えられる。