[論文レビュー] Homotopy groups of ascending unions of infinite-dimensional manifolds

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、上昇する無限次元多様体（またはリー群）のホモトピー群が、その部分多様体のホモトピー群の直接極限に同型であるための条件を確立する。弱い直接極限チャートとコンパクトな正則性を用いて、すべての k ∈ ℕ₀ および p ∈ M に対して πₖ(M,p) ≅ lim→ πₖ(Mₙ,p) を証明する。これにより、有限次元近似を用いた無限次元リー理論におけるホモトピー計算が可能になる。

ABSTRACT

Let M be a topological manifold modelled on topological vector spaces, which is the union of an ascending sequence of such manifolds M_n. We formulate a mild condition ensuring that the k-th homotopy group of M is the direct limit of the k-th homotopy groups of the steps M_n, for each non-negative integer k. This result is useful for Lie theory, because many important examples of infinite-dimensional Lie groups G can be expressed as ascending unions of finite- or infinite-dimensional Lie groups (whose homotopy groups may be easier to access). Information on the k-th homotopy groups of G, for k=0, k=1 and k=2, is needed to understand the Lie group extensions of G with abelian kernels. The above conclusion remains valid if the union of the steps M_n is merely dense in M (under suitable hypotheses). Also, ascending unions can be replaced by (possibly uncountable) directed unions.

研究の動機と目的

• 上昇する無限次元多様体のホモトピー群が、部分多様体のホモトピー群の直接極限に同型であるための十分条件を確立すること。
• 局所凸空間の稠密部分空間に関するパライスの古典的結果を、多様体やリー群を含む非線形設定に拡張すること。
• 有限次元または無限次元リー群の直列和として表される無限次元リー群のホモトピー群を計算するための一般枠組みを提供すること。
• 適切な正則性条件のもとで、リー群の稠密な直列和からその極限への包含写像が弱ホモトピー同値であることを示すこと。
• 具体的な例（微分同相群やコンパクトまたは重み付き滑らかさ構造を備えた関数空間）に結果を適用すること。

提案手法

• 極限多様体のチャートと部分多様体のチャートとの間の整合性を保証する「弱い直接極限チャート」の概念を導入する。これは、連続線形写像を介して関係づけられる。
• 多様体の各点が弱い直接極限チャートを持つという条件を用いて、包含写像がすべてのホモトピー群に同型を誘導することを保証する。
• コンパクト正則性（またはコンパクトな再帰性）の概念を用いて、極限多様体内のコンパクト集合がある部分多様体に含まれることを保証し、ホモトピー上昇の制御を可能にする。
• 有向添字集合 Aₚ = {α ∈ A : p ∈ Mₐ} を用いたコロイム構成 lim→ πₖ(Mₙ,p) によるホモトピー群の直接極限構造を活用する。
• 重み付き微分同相群やコンパクト台付き滑らかさを持つ関数空間などの主要な例において、主定理の条件が満たされることを検証する。
• Mₙ ⊆ M が連続包含であり、Mₙ が多様体であるとき、弱い直接極限チャートとコンパクト正則性の仮定のもとで πₖ(M) ≅ lim→ πₖ(Mₙ) が成り立つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上昇する無限次元多様体の直列和をその極限に包含する写像が、すべてのホモトピー群に同型を誘導するための条件は何か？
• RQ2 局所凸空間の稠密部分空間に関するパライスの定理を、非線形な多様体やリー群の設定に一般化できるか？
• RQ3 有限次元または無限次元リー群の直列和として表される無限次元リー群のホモトピー群は、どのように計算できるか？
• RQ4 弱い直接極限チャートやコンパクト正則性などの構造的条件が、部分多様体のホモトピー群の直接極限が全多様体のホモトピー群を回復することを保証するにはどのようなものか？
• RQ5 リー群の稠密な直列和からその極限多様体への包含写像が、どの程度まで弱ホモトピー同値となるか？

主な発見

• 多様体 M が連続包含を持つ部分多様体 Mₐ の有向和であるとき、M が弱い直接極限チャートを持つならば、すべての k ∈ ℕ₀ および p ∈ M に対して πₖ(M,p) ≅ lim→ πₖ(Mₐ,p) が成り立つ。
• 和集合 ⋃ₐ Mₐ が M に稠密である場合でも、M がコンパクトに再帰的でかつ弱い直接極限チャートが存在する限り、結果は有効である。
• コンパクト台付き微分同相群 Diff_c(X) から重み付き微分同相群 Diff_𝒲(X)ᵇ への包含写像は弱ホモトピー同値である。
• σ-コンパクトな滑らかな多様体 M とリー群 H に対して、すべての r ∈ ℕ₀ に対して包含写像 C^∞_c(M,H) → C^r_c(M,H) は弱ホモトピー同値である。
• 重み付き微分同相群 Diff_𝒲(X)ᵇ のホモトピー群は、コンパクト台付き微分同相群のホモトピー群の直接極限に同型であり、すなわち πₖ(Diff_𝒲(X)ᵇ) ≅ lim→ πₖ(Diff_K(X)) が成り立つ。
• 適切な正則性および近似条件の下で、(LF)-空間または (DFS)-空間をモデルとするリー群（例えば滑らかなベクトル場や微分同相群の空間）に対しても、この結果が適用可能である。