[論文レビュー] Homotopy of state orbits

Esteban Andruchow, Alejandro Varela|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、von Neumann代数における忠実正規状態の単位的軌道のホモトピー的性質を調査し、通常のノルム位相と、条件付き期待値によって誘導されるモジュラー位相の二つの位相における商空間 $U_M / U_{M^f}$ に注目する。通常の位相においてこの商空間が単連結であることを証明し、また、条件付き期待値のジョーンズ指数が有限であることと、二つの位相が一致する必要十分条件であることを示している。

ABSTRACT

Let M be a von Neumann algebra, f a faithful normal state and denote by M^f the fixed point algebra of the modular group of f. Let U_M and U_{M^f} be the unitary groups of M and M^f. In this paper we study the quotient U_M/U_{M^f} endowed with two natural topologies: the one induced by the usual norm of M (called here usual topology), and the one induced by the pre-Hilbert C*-module norm given by the f-invariant conditional expectation E_f:M o M^f (called the modular topology). It is shown that U_M/U_{M^f} is simply connected with the usual topology. Both topologies are compared, and it is shown that they coincide if and only if the Jones index of E_f is finite. The set U_M/U_{M^f} can be regarded as a model for the unitary orbit {f \circ Ad(u^*): u\in U_M} of f, and either with the usual or the modular it can be embedded continuously in the conjugate space M* (although not as a topological submanifold).

研究の動機と目的

• von Neumann代数における忠実正規状態の単位的軌道の位相的構造を分析すること。
• 商空間 $U_M / U_{M^f}$ に二つの自然な位相（通常のノルム位相と、条件付き期待値によって誘導されるモジュラー位相）を比較すること。
• これらの二つの位相が一致する条件を特定すること。
• 特に単連結性を含む、軌道空間のホモトピー型を確立すること。
• 軌道空間を双対空間 $M^*$ に連続的に埋め込むこと。ただし、位相的部分多様体とは限らない。

提案手法

• 忠実正規状態 $f$ のモジュラー自己同型群による固定部分代数 $M^f$ を定義する。
• $U_M$ および $U_{M^f}$ をそれぞれ $M$ および $M^f$ の単位的群として、商空間 $U_M / U_{M^f}$ を考察する。
• この商空間に二つの位相を導入する：$M$ から誘導される通常のノルム位相と、$f$-不変な条件付き期待値 $E_f: M \to M^f$ によって誘導されるモジュラー位相。
• 作用素代数およびC*-加群理論の技術を用いて、商空間の位相的性質を分析する。
• ホモトピー論の結果を適用し、通常の位相において $U_M / U_{M^f}$ が単連結であることを示す。
• $E_f$ のジョーンズ指数の有限性を用いて、二つの位相が一致するための基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常のノルム位相において、商空間 $U_M / U_{M^f}$ は単連結か？
• RQ2 通常位相とモジュラー位相が $U_M / U_{M^f}$ 上で一致するのはどのような条件下か？
• RQ3 条件付き期待値 $E_f$ のジョーンズ指数は、二つの位相の位相的同値性とどのように関係するか？
• RQ4 忠実正規状態の単位的軌道は、双対空間 $M^*$ に連続的に埋め込めるか？
• RQ5 $U_M / U_{M^f}$ は $M^*$ の位相的部分多様体か？

主な発見

• 通常のノルム位相を備えた商空間 $U_M / U_{M^f}$ は単連結である。
• 通常位相とモジュラー位相が $U_M / U_{M^f}$ 上で一致するのは、条件付き期待値 $E_f$ のジョーンズ指数が有限である場合に限る。
• 軌道空間 $U_M / U_{M^f}$ は双対空間 $M^*$ に連続的に埋め込めるが、位相的部分多様体ではない。
• モジュラー位相は $E_f$ によって誘導される前ヒルベルト $C^*$-加群構造から生じる。その性質は $E_f$ の指数に密接に関係する。
• 通常位相において、単位的軌道 $\{f \circ \text{Ad}(u^*) : u \in U_M\}$ は $U_M / U_{M^f}$ と位相的に同相である。
• ジョーンズ指数の有限性は、軌道空間上における二つの自然な位相の位相的同値性の必要十分条件である。