[論文レビュー] How to Compile Some NAND Formula Evaluators

Robert R. Tucci|ArXiv.org|Jun 4, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バランス型二分木NAND式の評価に用いられる離散クエリ量子アルゴリズムにおけるオラクルおよび非オラクル進化演算子の明示的量子回路実装（SEOベース）を提示する。コサイン・サイン分解（CSD）を用いて、これらのユニタリ演算子をCNOTと単一キュービットゲートの列にコンパイルし、FGG07にインspiredされたアルゴリズムを物理的に実装可能にし、O(√Nlvs)のクエリ複雑度を達成する。

ABSTRACT

We say a unitary operator acting on a set of qubits has been compiled if it has been expressed as a SEO (sequence of elementary operations, like CNOTs and single-qubit operations). SEO's are often represented as quantum circuits. arXiv:quant-ph/0702144 by Farhi-Goldstone-Gutmann has inspired a recent flurry of papers, that propose quantum algorithms for evaluating NAND formulas via quantum walks over tree graphs. These algorithms use two types of unitary evolution: oracle and non-oracle. Non-oracle evolutions are independent of the NAND formula input, whereas oracle evolutions depend on this input. In this paper we compile (i.e., give explicit SEOs and their associated quantum circuits for) the oracle and non-oracle evolution operators used in some of these NAND formula evaluators. We consider here only the case of balanced binary NAND trees. Our compilation methods are based on the CSD (Cosine Sine Decomposition), a matrix decomposition from Linear Algebra. The CS decomposition has been used very successfully in the past to compile unstructured unitary matrices exactly.

研究の動機と目的

• NAND式評価アルゴリズムに用いられるオラクルおよび非オラクル進化演算子の明示的量子回路分解を提供することで、実装のギャップを埋める。
• バランス型二分木NAND木の評価を目的とした離散クエリ量子アルゴリズムの物理的実現を可能にする。
• コサイン・サイン分解（CSD）技術を、量子ウォークベースのNAND式評価器に生じる構造化されたユニタリ演算子に適用する。
• Cle07、Chi07、Amb07などの先行研究に欠落していた、関連する量子回路を含むSEO（基本操作の系列）表現を提供する。

提案手法

• 線形代数におけるコサイン・サイン分解（CSD）を用いて、ユニタリ進化演算子を基本量子ゲートの系列に分解する。
• バランス型二分木NAND木に適応して、オラクルおよび非オラクル進化演算子の両方をCSDに適用する。
• MCNOTに基づくオラクル進化用回路を構築し、CNOTの数がO(Λ²)となるようにする。ここでΛは木の深さを表す。
• キュービットの入れ替えとσXゲートを用いて回路を最適化し、分解におけるバンド数を削減することでSEOの長さを短縮する。
• 特に非オラクル進化演算子の検証・比較のため、グローバーのアルゴリズムコンパイル技術を適応する。
• CNOTと単一キュービット回転を含む標準ゲートセットを用いて、すべてのコンパイル済み演算子を量子回路として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散クエリNAND式評価アルゴリズムにおけるオラクルおよび非オラクル進化演算子は、どのように明示的な量子回路にコンパイルできるか？
• RQ2 CSDを用いてバランス型二分木NAND木のこれらの演算子をコンパイルする際の回路複雑度は何か？
• RQ3 CSDに基づくコンパイルは、量子ウォークベースのNAND評価に生じる構造化されたユニタリ演算子の正確な合成を達成できるか？
• RQ4 得られたSEOは、グローバーのアルゴリズムで用いられるものと比較して、深さとゲート数の点でどのように異なるか？
• RQ5 キュービットの入れ替えやパウリ-Xゲートなどの最適化は、バンド数を減らし、結果として回路長を短縮できるか？

主な発見

• 本稿では、CSDを用いてバランス型二分木NAND木のオラクルおよび非オラクル進化演算子を明示的なSEOに成功してコンパイルした。
• オラクル進化演算子は、CNOT数がO(Λ²)の回路にコンパイルされ、ここでΛはNAND木のレベル数を表す。
• 非オラクル進化演算子は、均一状態射影子の固有値分解を用いてコンパイルされ、ハダマード変換と制御Zに類似した操作が活用される。
• このコンパイル手法は複数バンドに一般化可能であり、キュービットの入れ替えとパウリ-Xゲートによる最適化により回路長を短縮できる。
• 得られた回路は物理的に実装可能であり、FGG07にインspiredされた量子アルゴリズムの実装における重要なギャップを埋めた。
• 本手法は、グローバーのアルゴリズムを越えて、量子ウォークベースのアルゴリズムにおける構造化ユニタリのコンパイルに体系的なフレームワークを提供する。