[論文レビュー] Improved Approximation for Node-Disjoint Paths in Grids with Sources on the Boundary

Julia Chuzhoy, David H. K. Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべてのソースがグリッド境界上にあるグリッドグラフにおけるノード素因数パス（NDP）問題に対して、$2^{O(\iny{\textstyle\sqrt{\log n}} \cdot \log\log n)}$ の近似比を達成する確率的近似アルゴリズムを提示する。標準のマルチコミmodityフロー緩和とは異なり、新しい線形計画法を用いてルーティング対象のペアを選択し、その後幾何学的および動的計画法的手法を用いて境界に沿った列および行を通じてルーティングを行う。これにより、$\Omega(\sqrt{n})$ の整数性ギャップを効果的に回避できる。

ABSTRACT

We study the classical Node-Disjoint Paths (NDP) problem: given an undirected $n$-vertex graph G, together with a set {(s_1,t_1),...,(s_k,t_k)} of pairs of its vertices, called source-destination, or demand pairs, find a maximum-cardinality set of mutually node-disjoint paths that connect the demand pairs. The best current approximation for the problem is achieved by a simple greedy $O(\\sqrt{n})$-approximation algorithm. A special case of the problem called NDP-Grid, where the underlying graph is a grid, has been studied extensively. The best current approximation algorithm for NDP-Grid achieves an $\ ilde{O}(n^{1/4})$-approximation factor. On the negative side, a recent result by the authors shows that NDP is hard to approximate to within factor $2^{\\Omega(\\sqrt{\\log n})}$, even if the underlying graph is a sub-graph of a grid, and all source vertices lie on the grid boundary. In a follow-up work, the authors further show that NDP-Grid is hard to approximate to within factor $\\Omega(2^{\\log^{1-\\epsilon}n})$ for any constant $\\epsilon$ under standard complexity assumptions, and to within factor $n^{\\Omega(1/(\\log\\log n)^2)}$ under randomized ETH. In this paper we study NDP-Grid, where all source vertices {s_1,...,s_k} appear on the grid boundary. Our main result is an efficient randomized $2^{O(\\sqrt{\\log n} \\cdot \\log\\log n)}$-approximation algorithm for this problem. We generalize this result to instances where the source vertices lie within a prescribed distance from the grid boundary. Much of the work on approximation algorithms for NDP relies on the multicommodity flow relaxation of the problem, which is known to have an $\\Omega(\\sqrt n)$ integrality gap, even in grid graphs. Our work departs from this paradigm, and uses a (completely different) linear program only to select the pairs to be routed, while the routing itself is computed by other methods.

研究の動機と目的

• すべてのソース頂点がグリッド境界上にあるグリッドグラフにおけるノード素因数パス（NDP）問題のより良い近似アルゴリズムの設計を目的とする。
• 境界上にソースを持つグリッドグラフにおける標準的マルチコミmodityフロー緩和の$\Omega(\sqrt{n})$ の整数性ギャップを克服することを目的とする。
• 強い硬さ結果を考慮しても、従来の$\tilde{O}(n^{1/4})$ の境界よりも著しく優れた近似比を達成することを目的とする。
• フローに基づく丸めに依存せず、幾何的構造（特にグリッド境界上の区間および列・行ベースの経路）を活用するルーティングフレームワークの開発を目的とする。

提案手法

• マルチコミmodityフロー緩和に依存せぬよう、線形計画法を単にルーティング対象のペアを選択する目的にのみ使用する。
• 選択されたペアはグリッド境界上の区間にマッピングされ、ネスト構造に基づいてレベルに分割され、グリッド内の指定された列または行を通じてルーティングされる。
• 左、右、および上部の区間は、グリッドの左側の垂直列およびグリッド上部の水平行を通じてルーティングされ、ノード素因数性を保証するための利用可能な空間を活用する。
• 残りのペアは、すでに使用済みの頂点を除いた変更されたグラフ上に構築されたフロー・ネットワークを通じてルーティングされ、最大フロー最小カット定理により整数的ルーティングが保証される。
• 動的計画法および区間ネスト構造の性質を用いて、異なるレベルの区間に対して経路を効率的に割り当てる。
• 最終的なルーティングは、異なる区間タイプおよびレベルからの経路が互いに交差しないことを確認することでノード素因数性が保証され、グリッドの幾何学的配置がその根拠となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界上にソースを持つグリッドグラフにおけるNDPの近似比を、$\tilde{O}(n^{1/4})$ の境界を上回って改善することは可能か？
• RQ2 この特殊ケースにおいて、マルチコミmodityフロー緩和の$\Omega(\sqrt{n})$ の整数性ギャップを回避することは可能か？
• RQ3 境界制約付きグリッドグラフのどのような構造的性質を活用して、より優れた近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 区間ネスト構造および幾何的配置をどのように活用して、フローに基づく丸めに依存せずに経路をルーティングできるか？

主な発見

• 本稿では、すべてのソースが境界上にあるグリッドグラフにおけるNDP問題に対して、$2^{O(\sqrt{\log n} \cdot \log\log n)}$ の近似比を達成し、従来の$\tilde{O}(n^{1/4})$ の境界を改善した。
• アルゴリズムは、ペア選択とルーティングを分離することで、マルチコミmodityフロー緩和の$\Omega(\sqrt{n})$ の整数性ギャップを効果的に回避した。
• レベルごとの区間分解と専用の列・行を用いたルーティング戦略により、ノード素因数経路を保証し、上部、左、右の区間に対する経路はグリッドの異なる領域を通じてルーティングされる。
• 本手法は、ソースが境界から定数距離以内にある場合のインスタンスへも一般化可能であり、同じ近似比を維持する。
• アルゴリズムは確率的であり、多項式時間で実行可能であり、境界ソース設定において従来手法に比べて顕著な改善を達成した。
• 結果はほぼ最適に近い。本稿では、このようなグリッドにおけるNDPが$2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$ 以内に近似可能でないことが示されており、新しい境界は最適に非常に近い。