[論文レビュー] Improved bounds and parallel algorithms for the Lovasz Local Lemma.

Bernhard Haeupler, David G. Harris|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lovasz Local Lemma (LLL) のための新しい並列アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、1回の最大独立集合（MIS）計算のみを用いて $O(\log^2 n)$ 時間で実行され、従来の高速なアルゴリズムと同等の効率を達成するが、元の Moser-Tardos アルゴリズムと同一の広範な条件下で動作する。また、逐次的および並列的なリサンプリングアルゴリズムの実行時間の上限を改善し、複雑な重み関数に依存しない決定的 NC アルゴリズムへの拡張も行う。

ABSTRACT

The Lovasz Local Lemma (LLL) is a cornerstone principle in the probabilistic method of combinatorics, and a seminal algorithm of Moser & Tardos (2010) provided an efficient randomized algorithm to implement it. This algorithm could be parallelized to give an algorithm that uses polynomially many processors and $O(\log^3 n)$ time, stemming from $O(\log n)$ adaptive computations of a maximal independent set (MIS). Chung et. al. (2014) developed faster local and parallel algorithms, potentially running in time $O(\log^2 n)$, but these algorithms work under significantly more stringent conditions than the LLL. We give a new parallel algorithm, that works under essentially the same conditions as the original algorithm of Moser & Tardos, but uses only a single MIS computation, thus running in $O(\log^2 n)$ time. This conceptually new algorithm also gives a clean combinatorial description of a satisfying assignment which might be of independent interest. Our techniques extend to the deterministic LLL algorithm given by Chandrasekaran et al (2013) leading to an NC-algorithm running in time $O(\log^2 n)$ as well. We also provide improved bounds on the run-times of the sequential and parallel resampling-based algorithms originally developed by Moser & Tardos. These bounds extend to any problem instance in which the tighter Shearer LLL criterion is satisfied. We also improve on the analysis of Kolipaka & Szegedy (2011) to give tighter concentration results. Interestingly, we are able to give bounds which are independent of the (somewhat mysterious) weighting function used in formulations of the asymmetric LLL.

研究の動機と目的

• 元の Moser-Tardos アルゴリズムと同一の条件下で動作する、より高速な並列 LLL アルゴリズムの開発。
• MIS 計算の回数を $O(\log n)$ から1回に削減し、時間計算量を $O(\log^2 n)$ に改善すること。
• Shearer の基準が満たされる場合に、リサンプリングに基づく逐次的および並列的 LLL アルゴリズムのよりタイトな実行時間上限の確立。
• Chandrasekaran らの決定的 LLL アルゴリズムを拡張し、$O(\log^2 n)$ 時間で実行される NC アルゴリズムを達成すること。
• 非対称 LLL の定式化で用いられる重み関数への依存を排除し、解析を単純化し、一般性を向上させること。

提案手法

• 従来の研究と比較して、適応的ラウンド数を著しく削減する、1回の MIS 計算のみを実行する新しい並列アルゴリズムの設計。
• 満たされる割り当ての明確な組合せ的特徴づけを活用し、解析を単純化するとともに、効率的な並列化を可能にする。
• Moser-Tardos のリサンプリングフレームワークの技術を応用するが、依存関係の解消に1回の MIS を用いることで、並列ラウンド数を削減する。
• Chandrasekaran らの決定的 LLL アルゴリズムの解析を拡張し、$O(\log^2 n)$ 時間で実行される NC アルゴリズムを達成するように適合させる。
• Kolipaka と Szegedy の解析を精緻化することで、任意の重み関数に依存しないよりタイトな尾部推定を得る。
• Shearer の LLL 基準をよりタイトな条件として用い、より広範な問題インスタンスに適用可能なより良い実行時間上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Moser-Tardos アルゴリズムと同等の適用条件を満たしながら、1回の MIS 計算のみを用いる並列 LLL アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 Shearer の基準が満たされる場合に、リサンプリングベースの LLL アルゴリズムの最良の実行時間上限は何か？
• RQ3 決定的 LLL アルゴリズムを、多項式対数時間計算量を持つ NC アルゴリズムとして効率的に並列化できるか？
• RQ4 非対称 LLL の重み関数への依存を排除することで、LLL アルゴリズムの解析をどのように単純化できるか？
• RQ5 リサンプリングプロセスの精緻な解析を通じて、どのような濃度の上限の改善が達成できるか？

主な発見

• 提案された並列アルゴリズムは、1回の MIS 計算のみを用いて $O(\log^2 n)$ 時間で実行され、従来の $O(\log^3 n)$ アルゴリズムと比べて顕著に高速化されている。
• アルゴリズムは、元の Moser-Tardos アルゴリズムと同一の適用条件を維持しており、広範な実用的有用性を保証している。
• Shearer の LLL 基準が満たされる場合に、逐次的および並列的リサンプリングアルゴリズムの両方に対してよりタイトな実行時間上限が確立された。この結果は、よりタイトな条件を満たす任意のインスタンスに拡張可能である。
• LLL に対して、$O(\log^2 n)$ 時間で実行される決定的 NC アルゴリズムが達成された。これは、Chandrasekaran らの結果を並列設定に拡張したものである。
• リサンプリングプロセスに対して、よりタイトな濃度の上限が導出された。これは、Kolipaka と Szegedy の解析を改善したものであり、複雑な重み関数に依存しない。
• 新しいアルゴリズムは、満たされる割り当ての明確な組合せ的記述を提供しており、アルゴリズム的応用を超えて独立した価値を持つ可能性がある。