[論文レビュー] Improved recovery of admissible stress in domain decomposition methods - application to heterogeneous structures and new error bounds for FETI-DP

Augustin Parret-Fréaud, Valentine Rey+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、不均質構造における複数点（クロスポイント）を厳密に取り扱うことにより、領域分割法における許容応力場の回復を改善する手法を提案する。これらの点における節点反力の最適化により、逐次的および並列的設定の両方で誤差推定の精度が向上し、ソルバと離散化の寄与を明確に分離する厳密な誤差境界を実現する。特にFETI-DPおよびBDDC法において有効である。

ABSTRACT

This paper investigates the question of the building of admissible stress field in a substructured context. More precisely we analyze the special role played by multiple points. This study leads to (1) an improved recovery of the stress field, (2) an opportunity to minimize the estimator in the case of heterogeneous structures (in the parallel and sequential case), (3) a procedure to build admissible fields for FETI-DP and BDDC methods leading to an error bound which separates the contributions of the solver and of the discretization.

研究の動機と目的

• 部分領域分割領域分割法における誤差推定において、複数点（クロスポイント）が果たす重要な役割を解明する。
• 標準的手法が複数点効果を無視するため失敗する可能性がある不均質構造において、後験的誤差推定子の精度を向上させる。
• FETI-DPおよびBDDC法に適した、ソルバと離散化の寄与を分離する並列誤差推定手順を開発する。
• 複数点における最適化を組み込むことにより、逐次的誤差推定のための要素釣合技術（EET）を強化する。
• 共有節点における界面力の一貫性ある取り扱いにより、グローバルに静的に許容可能な応力場の構築を保証する。

提案手法

• 複数点における制約付き最適化問題を定式化し、より正確な節点反力を回復させることで、静的に許容可能な応力場の品質を向上させる。
• 複数点における最適化とスターパッチEETにおけるフラックス再構築の双対性を活用し、誤差推定の統一的アプローチを可能にする。
• 界面節点におけるトレクション力を修正することで、FETI-DPアルゴリズムに改善された応力回復を統合し、釣合と連続性を確保する。
• プライマル・デュアル系の残差を用いて構成則の誤差を計算し、プライマル・デュアルギャップのノルムを直接誤差推定値として得る。
• EETに基づく逐次的およびFETI-DP/BDDCに基づく並列的フレームワークの両方で手法を適用し、一貫性と厳密な誤差境界を保証する。
• 界面力に制約を課すことにより、複数点におけるグローバル釣合と連続性を満たすように、再構築された応力場を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数点は、不均質構造の領域分割法における後験的誤差推定子の精度にどのように影響を与えるか？
• RQ2 複数点における節点反力の最適化は、逐次的および並列的設定の両方で、回復された許容応力場の品質を向上させ得るか？
• RQ3 FETI-DPおよびBDDC法は、反復ソルバと有限要素離散化の寄与を分離する厳密な誤差境界を提供するために、どの程度拡張可能か？
• RQ4 複数点における最適化とEETアルゴリズムにおけるフラックス再構築の関係は何か？そして、誤差推定の向上にどのように利用可能か？
• RQ5 提案手法は、非重複領域分割におけるグローバルに静的に許容可能な応力場の構築をどのように保証するか？

主な発見

• 提案手法による複数点における最適化は、特に強い材料不均一性が存在する場合に、回復された許容応力場の精度を顕著に向上させる。
• 最適化を組み込んだ強化されたEET手順により、クロスポイントにおける節点反力が適切に扱われ、より信頼性の高い逐次的誤差推定子が得られる。
• FETI-DPの並列誤差推定手順は、特別な力再構築法を用いた複数点処理により、成功裏に拡張され、グローバル釣合が保証される。
• FETI-DPに導出された誤差境界は、反復ソルバと有限要素離散化の寄与を明確に分離しており、誤差要因の明確な診断を可能にする。
• 2次元不均質構造における数値結果から、改善された手法が、標準的手法に比べてよりきめ細かく信頼性の高い誤差境界を提供することが確認された。
• 本手法は、再構築された応力場が複数点においてグローバルに静的に許容可能であり、連続的であることを保証しており、局所的およびグローバルな釣合条件を満たす。