[論文レビュー] Incompatibility in general probabilistic theories, generalized spectrahedra, and tensor norms

Andreas Blühm, Anna Jenčová+1 more|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Nov 12, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般確率理論（GPT）における測定の整合性について、複数の同等な特徴付けを確立し、非整合性を正の写像、一般化スペクトラヒドラ、バナッハ空間におけるテンソル交叉ノルムに関連付ける。主な貢献は、中心対称GPTにおいて、整合性度が関連するバナッハ空間の入射的および射影的テンソルノルムの比によって決定されることを示したことであり、これにより1-総和ノルムを用いて、整合性領域の正確な計算と普遍的境界の導出が可能になる。

ABSTRACT

In this work, we investigate measurement incompatibility in general probabilistic theories (GPTs). We show several equivalent characterizations of compatible measurements. The first is in terms of the positivity of associated maps. The second relates compatibility to the inclusion of certain generalized spectrahedra. For this, we extend the theory of free spectrahedra to ordered vector spaces. The third characterization connects the compatibility of dichotomic measurements to the ratio of tensor crossnorms of Banach spaces. We use these characterizations to study the amount of incompatibility present in different GPTs, i.e. their compatibility regions. For centrally symmetric GPTs, we show that the compatibility degree is given as the ratio of the injective and the projective norm of the tensor product of associated Banach spaces. This allows us to completely characterize the compatibility regions of several GPTs, and to obtain optimal universal bounds on the compatibility degree in terms of the 1-summing constants of the associated Banach spaces. Moreover, we find new bounds on the maximal incompatibility present in more than three qubit measurements.

研究の動機と目的

• 一般確率理論（GPT）における測定の整合性の特徴付けを統一的かつ一般化すること。
• GPTにおける非整合性を正の写像、一般化スペクトラヒドラ、およびバナッハ空間におけるテンソルノルムに関連付けること。
• 1-総和ノルムおよびテンソル交叉ノルムの比を用いて、GPTにおける非整合性のロバストネスに関する普遍的境界を導出すること。
• ハイパーキューブ、ユークリッド球、およびクロスポリトープなどの特定のGPTにおける整合性領域を計算すること。
• 関数解析的ツールを用いて非整合性を量子資源として定量化するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 順序付きベクトル空間間の線形写像の正定性を用いて、整合性を特徴付ける。
• 自由スペクトラヒドラ理論を順序付きベクトル空間へ拡張し、一般化スペクトラヒドラを定義し、その包含関係と測定の整合性を関連付ける。
• 2値測定の整合性と、バナッハ空間における入射的および射影的テンソルノルムの比との間の対応関係を確立する。
• 錐計画法の双対性を用いて、プライマル・デュアル定式化により、整合性ノルム‖·‖_c を計算する。
• 対称的GPTにおける一般化スペクトラヒドラの包含定数を導出するために、対称化技術を適用する。
• バナッハ空間理論における既知の結果を活用し、1-総和ノルムの境界を導出し、これによりGPTにおける最大非整合性を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般確率理論における測定の整合性は、正の写像を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 一般化スペクトラヒドラの包含関係は、GPTにおける測定の整合性とどのように関係するか？
• RQ3 中心対称GPTにおいて、テンソル交叉ノルムと2値効果の整合性の間に明確な関係は存在するか？
• RQ4 バナッハ空間の1-総和ノルムは、GPTにおける最大非整合性をどのように境界づけるか？
• RQ5 ハイパーキューブ、ユークリッド球、およびクロスポリトープなどの特定のGPTにおける正確な整合性領域は何か？

主な発見

• 中心対称GPTにおいて、整合性度は関連するバナッハ空間の入射的および射影的テンソルノルムの比によって与えられる。
• 状態空間がハイパーキューブ、ユークリッド球、またはクロスポリトープである場合、対称化から導かれる包含定数を用いて、GPTの整合性領域が完全に特徴付けられる。
• 関連するバナッハ空間の1-総和定数を用いて、整合性度に関する最適な普遍的境界が得られる。
• 本稿は、整合性ノルム‖·‖_c を計算するための錐計画法定式化を提供しており、これは量子力学における半定値計画法を一般化するものである。
• テンソルノルム比を用いて、3つ以上のqubit測定における最大非整合性の新たな境界が導出される。
• 錐計画法の双対性により強い双対性と有限な最適値が保証され、整合性条件の効果的な計算が可能になる。