[論文レビュー] Independent Sets in Vertex-Arrival Streams

Graham Cormode, Jacques Dark+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、頂点到着型グラフストリームにおける最大独立集合（MIS）の近似の空間計算量を調査し、明示的頂点ストリームでは、c-近似のためにはΩ(n²/c⁷)の空間が必要であることを示しており、これはMISがエッジ到着モデルと比べてはるかに難しいことを示している。本稿では、ポインタジャンピングに類似した新規な多人数通信問題を導入し、強い下界を証明した。また、単位正方形や区間などの幾何的交差グラフについて、明示的および暗黙的頂点ストリームモデルの両方で、改善された上界と下界を確立した。

ABSTRACT

We consider the maximal and maximum independent set problems in three models of graph streams: - In the edge model we see a stream of edges which collectively define a graph; this model is well-studied for a variety of problems. We show that the space complexity for a one-pass streaming algorithm to find a maximal independent set is quadratic (i.e. we must store all edges). We further show that it is not much easier if we only require approximate maximality. This contrasts strongly with the other two vertex-based models, where one can greedily find an exact solution in only the space needed to store the independent set. - In the "explicit" vertex model, the input stream is a sequence of vertices making up the graph. Every vertex arrives along with its incident edges that connect to previously arrived vertices. Various graph problems require substantially less space to solve in this setting than in edge-arrival streams. We show that every one-pass c-approximation streaming algorithm for maximum independent set (MIS) on explicit vertex streams requires Omega({n^2}/{c^6}) bits of space, where n is the number of vertices of the input graph. It is already known that Theta~({n^2}/{c^2}) bits of space are necessary and sufficient in the edge arrival model (Halldórsson et al. 2012), thus the MIS problem is not significantly easier to solve under the explicit vertex arrival order assumption. Our result is proved via a reduction from a new multi-party communication problem closely related to pointer jumping. - In the "implicit" vertex model, the input stream consists of a sequence of objects, one per vertex. The algorithm is equipped with a function that maps pairs of objects to the presence or absence of edges, thus defining the graph. This model captures, for example, geometric intersection graphs such as unit disc graphs. Our final set of results consists of several improved upper and lower bounds for interval and square intersection graphs, in both explicit and implicit streams. In particular, we show a gap between the hardness of the explicit and implicit vertex models for interval graphs.

研究の動機と目的

• 明示的および暗黙的頂点ストリームにおける、近似最大独立集合（MIS）を求める際の空間計算量を理解すること。
• 古典的なエッジ到着モデルと比較して、頂点到着モデルにおけるMISの難易度を明らかにすること。ここでは、頂点モデルでは貪欲法が部分二次関数の空間で動作可能である。
• 頂点ストリーム設定下での幾何的交差グラフ（例：単位正方形、区間）の既知の上界と下界のギャップを埋めること。
• MIS近似のための下界を証明するために、特にINDEX問題の多人数一般化を含む、新たな通信計算複雑性の道具を開発すること。
• 幾何的構造（例：単位円板、区間）が、一般グラフと比較してMIS近似における空間効率を向上させられるかどうかを検討すること。

提案手法

• 近似最大性を保証するためのRuzsa-Szemerédiグラフに基づく構成を用いて、MIS近似問題をポインタジャンピングに類似した新規な多人数通信問題に還元する。
• 1次元および2次元における球（または区間）を用いた幾何的構成により、複数の参加者間でビットベクトルを符号化し、独立集合が通信問題の解に対応するようにする。
• 硬いインスタンスグラフにおいてエラージャーコードを用いてクリークのサイズを制限し、大きな独立集合を生成するのは特定のビットの組み合わせに限ることを保証する。
• 2次元におけるパッキングの議論を用いて、MISのサイズが符号化された情報を回復可能であることを示し、通信計算複雑性を用いて下界を得る。
• ストリップ分解と重みクラスの丸めを用いた明示的ストリーミングアルゴリズムを設計し、単位正方形などの幾何的グラフに対して(3+ǫ)-近似を˜O(α(G)/ǫ)の空間で達成する。
• 重み付きMISに対しては、重みを(1+ǫ)の累乗に丸め、各ストリップあたり˜O(ǫ⁻¹)の重みクラスのみを追跡することで、(3+ǫ)-近似を˜O(log W + α(G)/ǫ)の空間で達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的頂点ストリームにおけるc-近似のMISの空間計算量は、エッジ到着ストリームと比べてどのように異なるか？
• RQ2 明示的頂点ストリームにおけるMISの難易度は、通信計算複雑性の枠組みを用いて証明可能か？また、どのような新しい基本的構成が必要か？
• RQ3 明示的および暗黙的頂点モデルにおける単位正方形または単位区間のストリームにおいて、MIS近似の最もタイトな上界と下界は何か？
• RQ4 交差グラフの幾何的構造（例：単位円板、区間）は、定数因子近似のためのo(α(G))空間アルゴリズムを可能にするか？
• RQ5 単位正方形ストリームにおけるMISの近似因子を3より良くできるか？また、より良い近似には最小でどの程度の空間が必要か？

主な発見

• エッジ到着ストリームにおける最大独立集合の探索には、近似最大性であってもΩ(n²)の空間が必要であり、これはエッジモデルが頂点モデルよりも本質的に難しいことを示している。
• 明示的頂点ストリームでは、c-近似によるα(G)の近似にはΩ(n²/c⁷)の空間が必要であり、これは正確なMISを求める頂点モデルで用いられる˜O(α(G))の空間と比べてはるかに大きい。これは、明示的頂点ストリームにおいてもMISが顕著に簡単ではないことを示している。
• 単位正方形の暗黙的頂点ストリームでは、(3+ǫ)-近似のMISを˜O(α(G)/ǫ)の空間で達成可能であるが、5/2-近似より良い近似にはΩ(n)の空間が必要である。
• 明示的頂点ストリームにおける単位区間グラフでは、5/3-近似より良い近似にはΩ(n)の空間が必要であり、これは暗黙的ストリームバージョンよりも難しいことを示している。
• 本稿では、球の配置に基づく3参加者通信問題を構築し、MISのサイズが共同計算の結果を符号化していることを示し、5/2より良い近似因子を持ついかなるアルゴリズムもΩ(n)の空間を必要とする。
• 任意サイズの正方形を含む2次元幾何的グラフでは、定数因子近似が存在するか、単位正方形の上界と下界のギャップを埋められるかは未解決のまま残っている。