[論文レビュー] Infinite-Dimensional Representations of 2-Groups

John C. Baez, Aristide Baratin+2 more|Dec 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 66被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、可測カテゴリ（ヒルベルト空間の圏的類似）を用いて、2群の無限次元表現理論を展開する。これは、無限次元群表現理論のカテゴリフィケーションを可能にする。骨格的可測2群における表現、インターワインヤー、2インターワインヤーの幾何的枠組みを確立し、インターワインヤーの直和や非還元可能表現といった概念を導入。さらに、追加構造を備えた可測カテゴリを「分離2ヒルベルト空間」として提案し、表現論、測度論、および量子重力モデルを結びつける。

ABSTRACT

A "2-group" is a category equipped with a multiplication satisfying laws like those of a group. Just as groups have representations on vector spaces, 2-groups have representations on "2-vector spaces", which are categories analogous to vector spaces. Unfortunately, Lie 2-groups typically have few representations on the finite-dimensional 2-vector spaces introduced by Kapranov and Voevodsky. For this reason, Crane, Sheppeard and Yetter introduced certain infinite-dimensional 2-vector spaces called "measurable categories" (since they are closely related to measurable fields of Hilbert spaces), and used these to study infinite-dimensional representations of certain Lie 2-groups. Here we continue this work. We begin with a detailed study of measurable categories. Then we give a geometrical description of the measurable representations, intertwiners and 2-intertwiners for any skeletal measurable 2-group. We study tensor products and direct sums for representations, and various concepts of subrepresentation. We describe direct sums of intertwiners, and sub-intertwiners - features not seen in ordinary group representation theory. We study irreducible and indecomposable representations and intertwiners. We also study "irretractable" representations - another feature not seen in ordinary group representation theory. Finally, we argue that measurable categories equipped with some extra structure deserve to be considered "separable 2-Hilbert spaces", and compare this idea to a tentative definition of 2-Hilbert spaces as representation categories of commutative von Neumann algebras.

研究の動機と目的

• 有限次元2ベクトル空間では不十分なリーリー2群の表現理論を、2ベクトル空間を超えて拡張すること。
• 可測フィールドのヒルベルト空間にインspiredされた可測カテゴリを用いて、無限次元表現の厳密な枠組みを構築すること。
• 通常の群表現理論における概念（部分表現、非可約性、テンソル積など）を2圏的設定に一般化すること。
• 従来の表現理論に存在しない新規な特徴（インターワインヤーの直和、非還元可能表現など）を導入・研究すること。
• 追加構造を備えた可測カテゴリを「分離2ヒルベルト空間」としての候補とし、表現論および量子重力とを結びつけること。

提案手法

• 可測フィールドのヒルベルト空間と直積分を用いて、可測カテゴリを2圏 ${\bf{Meas}}$ として形式化する。
• 骨格的可測2群 $\mathcal{G}$ に対する表現の2圏 $\mathbf{2Rep}(\mathcal{G})$ を構成し、対象を可測ファンクター、1-射をインターワイング自然変換、2-射を変形（modification）とする。
• ルベーグ分解、ラドン＝ニコディム微分、幾何平均測度といった測度論的道具を用いて、表現の構造と同値性を分析する。
• 可測群 $G$ が可測空間 $X$ に作用することにより、擬不変測度を備えた同次空間 $G/S$ を構成し、誘導表現を構成する。
• 「可測群」の概念を導入し、$H^*$（ポントリャーギン双対）が可測であるための必要十分条件として、可算生成の自由アーベル群が $\mathrm{Ab}(H)$ の離散部分群でないことを証明する。
• コンパクト開位相を $C(H, \mathbb{C}^\times)$ に導入することで、$G$ の $H^*$ への作用が連続であることを確立し、双対群構成における位相的一致性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元2ベクトル空間では不十分なリーリー2群の無限次元表現を、どのように体系的に構成できるか？
• RQ2 可測2群における表現、インターワインヤー、2インターワインヤーの幾何的および圏的構造は何か？
• RQ3 2群表現理論にのみ現れるが、通常の群理論には存在しない新規な圏的特徴（例えば、インターワインヤーの直和、非還元可能表現）は何か？
• RQ4 可測群 $H$ の双対群 $H^*$ が可測であるための条件は何か？また、これは $\mathrm{Ab}(H)$ の構造とどのように関係するか？
• RQ5 追加構造を備えた可測カテゴリを「分離2ヒルベルト空間」とみなせるか？また、可換フォンノイマン代数に基づく他の定義と比べてどう異なるか？

主な発見

• 可測カテゴリは、2群の無限次元表現を支持するwell-definedな2圏 ${\bf{Meas}}$ を形成し、カプラノフ＝ヴォエバドスの2ベクトル空間を一般化する。
• 可測群 $H$ の双対群 $H^*$ が可測であるための必要十分条件は、可算生成の自由アーベル群が $\mathrm{Ab}(H)$ の離散部分群でないことである。この条件は、例えば $H$ が有限個の連結成分を持つ場合に満たされる。
• 可測群 $G$ が双対群 $H^*$ に $\chi_g[h] = \chi[g \triangleright h]$ により作用するとき、その作用は連続であり、表現枠組みにおける位相的一致性を保証する。
• 可測群 $G$ の閉部分群 $S$ に対する可測同次空間 $G/S$ はポリッシュ空間であり、ボレル $\sigma$-代数を備え、非自明な擬不変測度を備え、それらはすべて同値である。
• 本理論は、従来の群表現理論に存在しない新規な圏的特徴を導入する：インターワインヤーの直和と部分インターワインヤー、および「非還元可能」表現の概念。
• 追加構造（例えば、整合性のある内積と直積分）を備えた可測カテゴリは、『分離2ヒルベルト空間』としての資格を持つとされ、カテゴリフィケーションされた量子力学および量子重力におけるスピンフォームモデルのための候補枠組みを提供する。